Identifier une loi de Bernoulli

Énoncé

On tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules bleues. Soit X la variable qui vaut 1 si la boule est rouge, 0 sinon. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer E(X) et V(X).

Indice : X ne prend que les valeurs 0 et 1, c'est une loi de Bernoulli.

Correction

1. Étape 1 : Ce qui identifie une loi de Bernoulli n'est pas le contexte — urne, dé, contrôle qualité — mais la forme de la variable : elle ne prend que deux valeurs, 0 et 1. Dès qu'un énoncé écrit « X vaut 1 si… et 0 sinon », la loi est trouvée ; il ne reste qu'à nommer p. Loi de Bernoulli : X B(p) signifie P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p, avec [formule] 👉 Le paramètre p est toujours la probabilité du succès, c'est-à-dire de l'événement auquel on a donné la valeur 1. Ici, c'est « la boule est rouge ».
2. Étape 2 : a) Identifier la loi. L'urne contient 3 + 7 = 10 boules, dont 3 rouges. Le succès est « tirer une rouge », donc p = 3{10} = 0{,}3 et X B(0{,}3) ⚠️ Le dénominateur est le nombre total de boules, pas le nombre de bleues : 3{7} serait un rapport rouges-sur-bleues, qui n'est pas une probabilité.

   X B(0{,}3)

3. Étape 3 : b) Espérance et variance. Les formules du cours donnent directement E(X) = p = 0{,}3 V(X) = p(1-p) = 0{,}3 0{,}7 = 0{,}21 Et l'on peut retrouver l'espérance sans la formule, en revenant à sa définition : E(X) = 1 0{,}3 + 0 0{,}7 = 0{,}3 C'est exactement ce que dit la formule : pour une Bernoulli, l'espérance est la probabilité de succès — puisque le seul terme qui compte est celui où X vaut 1.

   E(X) = 0{,}3 ; V(X) = 0{,}21

4. Étape 4 : L'erreur classique : Prendre p = 3{7} (rouges sur bleues) au lieu de 3{10} (rouges sur total). Le dénominateur d'une probabilité est toujours le nombre total de cas possibles, jamais le nombre de cas contraires. À retenir : « X vaut 1 si …, 0 sinon » loi de Bernoulli, et p est la probabilité de ce qui vaut 1. Retenir E(X) = p et V(X) = p(1-p). 👉 C'est la brique de tout le chapitre : une loi binomiale n'est rien d'autre que n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, dont on compte les succès. Tout ce qui suit repose là-dessus.