Calculer variance et écart type

Énoncé

La variable aléatoire X a la loi suivante : | x_i | 0 | 1 | 2 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X=x_i) | 0{,}3 | 0{,}5 | 0{,}2 | Calculer E(X), V(X) et (X).

Indice : Utilise V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.

Correction

1. Étape 1 : La loi est donnée : il n'y a rien à construire, seulement trois quantités à calculer — et l'ordre n'est pas libre, puisque la variance a besoin de l'espérance. Les trois formules, et leur enchaînement : [formule] 👉 Le seul point qui demande de l'attention est E(X^2) : on élève les valeurs au carré, jamais les probabilités. On refait donc exactement la même somme pondérée, mais sur les x_i^2.
2. Étape 2 : L'espérance. E(X) = 0 0{,}3 + 1 0{,}5 + 2 0{,}2 = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9 Contrôle de plausibilité : 0{,}9 tombe bien entre 0 et 2, les deux valeurs extrêmes de X. Une espérance en dehors de cet intervalle serait forcément fausse.

   E(X) = 0{,}9

3. Étape 3 : L'espérance des carrés. On garde les mêmes probabilités 0{,}3 ; 0{,}5 ; 0{,}2 et l'on remplace chaque valeur par son carré : E(X^2) = 0^2 0{,}3 + 1^2 0{,}5 + 2^2 0{,}2 = 0 + 0{,}5 + 0{,}8 = 1{,}3 ⚠️ 2^2 = 4, d'où 4 0{,}2 = 0{,}8. C'est ce terme qui fait toute la différence avec E(X) : les grandes valeurs pèsent davantage une fois élevées au carré, et c'est précisément ce qui rend la variance sensible à la dispersion.

   E(X^2) = 1{,}3

4. Étape 4 : Variance et écart type. V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1{,}3 - 0{,}9^2 = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49 (X) = 0{,49} = 0{,}7 ⚠️ 0{,}9^2 = 0{,}81 — ni 0{,}18 (qui serait 2 0{,}9), ni 1{,}8. Une erreur ici se propage jusqu'à l'écart type.

   V(X) = 0{,}49 ; (X) = 0{,}7

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire V(X) = E(X^2) - E(X), en oubliant le carré sur l'espérance : on trouverait 1{,}3 - 0{,}9 = 0{,}4 au lieu de 0{,}49. Le garde-fou vaut pour tout le chapitre : une variance ne peut jamais être négative, puisque en est la racine carrée. Si le calcul en donne une, c'est que les deux termes ont été intervertis. À retenir : s'exprime dans la même unité que X — c'est ce qui la rend lisible, là où V est dans l'unité au carré. Ici = 0{,}7 se lit : les valeurs s'écartent en moyenne de 0{,}7 autour de 0{,}9. Enchaînement à retenir dans cet ordre : E(X), puis E(X^2), puis V, puis .