Loi de probabilité et espérance

Énoncé

Un jeu consiste à tirer une carte dans un jeu de 32. On gagne 5 € si c'est un as, 2 € si c'est un roi, et on perd 1 € sinon. Soit X le gain. Déterminer la loi de X et calculer E(X).

Indice : Il y a 4 as, 4 rois et 24 autres cartes dans un jeu de 32.

Correction

1. Étape 1 : « Déterminer la loi de X » veut dire répondre à deux questions, et à rien d'autre : quelles valeurs X peut-il prendre, et avec quelle probabilité chacune. Les valeurs sont déjà dans l'énoncé — ce sont les trois gains. Les probabilités, elles, se lisent dans la composition du jeu. La marche à suivre : 1. Lister les valeurs possibles de X. 2. Compter les cartes qui donnent chaque valeur, puis diviser par 32. 3. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1. 4. Calculer E(X) = x_i P(X = x_i). 👉 L'étape 3 n'est pas une formalité administrative : c'est le seul contrôle gratuit du chapitre, et il attrape la faute la plus fréquente — oublier une catégorie de cartes.
2. Étape 2 : Les valeurs, puis les probabilités. Un jeu de 32 cartes contient 4 as et 4 rois, donc 32 - 4 - 4 = 24 autres cartes. P(X = 5) = 4{32} = 1{8} — les 4 as P(X = 2) = 4{32} = 1{8} — les 4 rois P(X = -1) = 24{32} = 3{4} — toutes les autres Contrôle immédiat : 1{8} + 1{8} + 3{4} = 1 + 1 + 6{8} = 1 ✓ — aucune carte n'a été oubliée.

   P(X=5) = P(X=2) = 1{8} ; P(X=-1) = 3{4}

3. Étape 3 : L'espérance. Chaque gain compte à hauteur de sa probabilité, signe compris : E(X) = 5 1{8} + 2 1{8} + (-1) 3{4} Pour additionner, on met tout sur le dénominateur 8 — c'est-à-dire qu'on remplace 3{4} par 6{8} : E(X) = 5{8} + 2{8} - 6{8} = 1{8} = 0{,}125 ⚠️ Le -1 entre dans la somme avec son signe. Le traiter comme un gain de +1 donnerait 13{8} = 1{,}625 € — un jeu invraisemblablement généreux, ce qui est d'ailleurs le signe qu'on s'est trompé.

   E(X) = 1{8} = 0{,}125 €

4. Étape 4 : Ce que ce nombre veut dire — et ce qu'il ne veut pas dire. E(X) = 0{,}125 € ne signifie pas qu'on gagne 12,5 centimes à chaque partie : on gagne 5 €, ou 2 €, ou l'on perd 1 €, jamais 0,125 €. Ça signifie que sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie s'approche de 0,125 €. Sur 100 parties, on peut donc s'attendre à environ 100 0{,}125 = 12{,}50 € de bénéfice. Comme E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur — ce qui est rare, et devrait faire douter de l'existence de ce jeu ailleurs que dans un exercice.
5. Étape 5 : Les deux erreurs classiques : Oublier le « sinon ». On compte les 4 as et les 4 rois, on s'arrête à 8 cartes, et l'on ne voit pas que 24 cartes manquent. Le contrôle « somme = 1 » le refuse aussitôt : 1{8} + 1{8} = 1{4} 1. Perdre le signe du gain négatif. Écrire 5{8} + 2{8} + 6{8} donne 1{,}625 € au lieu de 0{,}125 € : treize fois trop. À retenir : Une loi de probabilité se présente toujours sous forme d'un tableau valeur / probabilité, et se termine toujours par le contrôle « la somme fait 1 ». L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités : chaque issue pèse à hauteur de sa fréquence. Un E(X) positif dit que le jeu est favorable à long terme, jamais partie par partie.