Deux épreuves indépendantes : un tableau

Énoncé

Un QCM comporte deux questions. Léo répond au hasard : à la première, il choisit une réponse parmi trois, dont une seule est juste ; à la seconde, une réponse parmi quatre, dont une seule est juste. Ses deux choix sont indépendants. On note J₁ l'événement « la réponse à la première question est juste » et J₂ l'événement « la réponse à la seconde question est juste ». a) Représenter la situation par un tableau à double entrée donnant la probabilité de chaque case. b) Calculer la probabilité que Léo réponde juste aux deux questions. c) Calculer la probabilité qu'il donne exactement une réponse juste. d) Calculer la probabilité qu'il donne au moins une réponse juste.

Indice : Les deux épreuves sont indépendantes : chaque case du tableau est le produit de la probabilité de sa ligne par celle de sa colonne.

Correction

1. Étape 1 : Deux épreuves indépendantes se succèdent : la réponse à la première question, puis celle à la seconde. On peut les représenter par un arbre, ou par un tableau à double entrée : les issues de la première épreuve en lignes, celles de la seconde en colonnes. Le tableau de deux épreuves indépendantes : Chaque case est une intersection, par exemple J₁ ∩ J₂̅. Grâce à l'indépendance, sa probabilité est le produit des probabilités de sa ligne et de sa colonne : P(J₁ ∩ J₂̅) = P(J₁) × P(J₂̅) Les cases somment à 1.
2. Étape 2 : a) Une réponse juste sur trois : P(J₁) = 1/3, donc P(J₁̅) = 2/3. Une sur quatre : P(J₂) = 1/4, donc P(J₂̅) = 3/4. | | J₂ : 1/4 | J₂̅ : 3/4 | | --- | :-: | :-: | | J₁ : 1/3 | 1/12 | 3/12 = 1/4 | | J₁̅ : 2/3 | 2/12 = 1/6 | 6/12 = 1/2 | Contrôle : 1/12 + 3/12 + 2/12 + 6/12 = 12/12 = 1 ✓
3. Étape 3 : b) Deux réponses justes, c'est la case J₁ ∩ J₂ : P(J₁ ∩ J₂) = 1/3 × 1/4 = 1/12

   P(J₁ ∩ J₂) = 1/12

4. Étape 4 : c) « Exactement une réponse juste » réunit deux cases : juste puis faux, ou faux puis juste. Ces deux cases sont incompatibles, on additionne : P(J₁ ∩ J₂̅) + P(J₁̅ ∩ J₂) = 3/12 + 2/12 = 5/12

   P(exactement une juste) = 5/12

5. Étape 5 : d) Le contraire de « au moins une réponse juste » est « aucune réponse juste », la seule case J₁̅ ∩ J₂̅ : P(au moins une juste) = 1 - 1/2 = 1/2 👉 Contrôle : « au moins une » = « exactement une » ou « deux », soit 5/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2 ✓. Un arbre aurait donné les mêmes nombres : ses quatre chemins sont les quatre cases du tableau.

   P(au moins une juste) = 1/2

6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre 1/3 + 1/4 = 7/12 à la question c). Cette somme compte « la première est juste » et « la seconde est juste » sans exiger que l'autre soit fausse : elle compte deux fois la case J₁ ∩ J₂. La bonne réponse, 5/12, n'additionne que les deux cases où une seule réponse est juste. À retenir : Deux épreuves indépendantes se représentent par un arbre ou par un tableau : chaque case vaut le produit des probabilités de sa ligne et de sa colonne. On additionne ensuite les cases qui réalisent l'événement, et l'on vérifie que toutes les cases somment à 1.