Fiabilité d'un système

Énoncé

Un système informatique est constitué de trois composants indépendants C_1, C_2 et C_3 ayant des probabilités de fonctionnement respectives p_1 = 0{,}95, p_2 = 0{,}90 et p_3 = 0{,}85. a) Calculer la probabilité de fonctionnement du système si les trois composants sont en série. b) Calculer la probabilité de fonctionnement si les trois composants sont en parallèle. c) On place C_1 en série avec un bloc formé de C_2 et C_3 en parallèle. Calculer la fiabilité de ce système mixte.

Indice : En série : produit des fiabilités. En parallèle : 1 - produit des probabilités de panne. Pour c), calculer d'abord la fiabilité du bloc parallèle.

Correction

1. Étape 1 : Une application directe de l'indépendance à un problème d'ingénierie. Tout tient à traduire correctement deux mots de vocabulaire technique. Série et parallèle : En SÉRIE : le système ne fonctionne que si TOUS les composants fonctionnent. C'est un « et », donc un produit : [formule] En PARALLÈLE : le système fonctionne dès qu'AU MOINS UN composant fonctionne. C'est un « au moins un », donc on passe par le contraire : [formule] Prévoyons les ordres de grandeur : en série, la fiabilité sera inférieure au plus faible des composants ; en parallèle, supérieure au plus fort.
2. Étape 2 : a) En série. Les trois composants étant indépendants, on multiplie : P = 0{,}95 0{,}90 0{,}85 On calcule en deux temps : 0{,}95 0{,}90 = 0{,}855, puis 0{,}855 0{,}85 = 0{,}72675. Fiabilité d'environ 72,7 %. Contrôle : 0{,}727 < 0{,}85, la fiabilité du composant le plus faible ✓ — c'est bien ce qu'on attendait. Une chaîne ne peut pas être plus solide que son maillon le plus faible, et elle est même plus fragile, puisque chaque maillon supplémentaire ajoute une occasion de tomber en panne.

   P_{série} 0{,}727

3. Étape 3 : b) En parallèle. Le système tombe en panne seulement si les trois composants tombent en panne. On calcule d'abord les probabilités de panne : 1 - p_1 = 0{,}05 1 - p_2 = 0{,}10 1 - p_3 = 0{,}15 La panne totale exige les trois à la fois : P(panne totale) = 0{,}05 0{,}10 0{,}15 = 0{,}00075 D'où la fiabilité, par passage au contraire : P = 1 - 0{,}00075 = 0{,}99925 Fiabilité d'environ 99,9 %. Contrôle : 0{,}999 > 0{,}95, la fiabilité du meilleur composant ✓

   P_{parallèle} 0{,}99925

4. Étape 4 : c) Le système mixte. On procède par blocs, du plus interne au plus externe. Le bloc parallèle C_2 \| C_3 : il tombe en panne si les deux tombent en panne. p_{bloc} = 1 - (1 - 0{,}90)(1 - 0{,}85) = 1 - 0{,}10 0{,}15 = 1 - 0{,}015 = 0{,}985 Ce bloc se comporte donc comme un composant unique de fiabilité 0{,}985. C_1 en série avec ce bloc : les deux doivent fonctionner. P = 0{,}95 0{,}985 = 0{,}93575 Fiabilité d'environ 93,6 %.

   P_{mixte} 0{,}936

5. Étape 5 : Ce que les trois montages disent ensemble — et c'est le vrai enseignement de l'exercice. | montage | fiabilité | lecture | | --- | --- | --- | | série | 72{,}7 \% | chaque composant est un point de défaillance | | mixte | 93{,}6 \% | un seul point de défaillance : C_1 | | parallèle | 99{,}9 \% | aucun point de défaillance unique | Doubler un composant (mettre C_2 et C_3 en parallèle) fait passer la fiabilité de 72{,}7 à 93{,}6 \% — un gain de vingt points, sans changer aucun composant. 👉 Et le montage mixte révèle où est le vrai problème : c'est C_1 qui plafonne tout. Le bloc parallèle atteint 98{,}5 \%, mais l'ensemble ne peut pas dépasser les 95 \% de C_1. Pour améliorer ce système, il ne sert à rien de fiabiliser C_2 ou C_3 : il faut doubler C_1. C'est exactement le raisonnement qu'on applique aux systèmes critiques — un avion a deux moteurs, un serveur a deux alimentations.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Additionner les fiabilités en parallèle : 0{,}95 + 0{,}90 + 0{,}85 = 2{,}70. Une probabilité ne peut pas dépasser 1, le résultat aurait dû arrêter le calcul. Autre erreur, plus subtile : appliquer 1 - (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3) au montage en série. Les deux formules se ressemblent et donnent toutes deux un nombre plausible — 0{,}999 contre 0{,}727 — mais l'écart est énorme. Le repère : en série, la fiabilité diminue quand on ajoute un composant ; en parallèle, elle augmente. À retenir : Deux encadrements suffisent à vérifier n'importe quel montage : en série, le résultat est inférieur au plus faible ; en parallèle, il est supérieur au plus fort. Et pour un système mixte, procède par blocs en remplaçant chaque sous-ensemble par un composant unique de fiabilité équivalente — la formule ne change jamais, seule l'imbrication change.