Urne avec et sans remise

Énoncé

Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules bleues. On tire deux boules successivement. Situation 1 : Tirage avec remise. Situation 2 : Tirage sans remise. Pour chaque situation : a) Construire l'arbre pondéré. b) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge. c) Déterminer si les tirages sont indépendants.

Indice : Avec remise, les probabilités ne changent pas → indépendance. Sans remise, les probabilités changent → dépendance.

Correction

1. Étape 1 : Le même tirage, traité deux fois : avec puis sans remise. L'exercice existe pour faire apparaître ce que ce seul mot change — et ce n'est pas seulement une histoire de fractions. Ce que « avec remise » décide : Avec remise : le sac est identique aux deux tirages, donc les probabilités du second niveau sont celles du premier. Les tirages sont indépendants. Sans remise : il reste une boule de moins, et une de moins de la couleur tirée. Les probabilités du second niveau dépendent du premier tirage. ⚠️ Et un point qu'on ne devine pas : dans les deux cas, on trouvera P(R_2) = P(R_1). Sans remise aussi, la deuxième boule a autant de chances d'être rouge que la première — c'est la probabilité conditionnelle P(R_2|R_1) qui change, pas la probabilité globale. C'est exactement ce qui distingue « dépendant » de « moins probable ».
2. Étape 2 : Situation 1 — avec remise. L'urne contient 6 + 4 = 10 boules, et le sac est identique aux deux tirages : P(R) = 6{10} = 0{,}6 P(B) = 4{10} = 0{,}4 Exactement une rouge se réalise par deux chemins : P(RB) = 0{,}6 0{,}4 = 0{,}24 P(BR) = 0{,}4 0{,}6 = 0{,}24 P(exactement une rouge) = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48

   avec remise : 0{,}48

3. Étape 3 : Indépendance dans la situation 1. Les probabilités du second niveau sont les mêmes quel que soit le chemin emprunté : P(R_2|R_1) = 0{,}6 = P(R_2|B_1) Savoir ce qu'a donné le premier tirage n'apporte donc aucune information sur le second : les tirages sont indépendants. C'est bien ce qu'on attend d'un tirage avec remise — la boule remise, l'urne ne garde aucune trace de ce qui s'est passé.
4. Étape 4 : Situation 2 — sans remise. Le premier tirage est inchangé, mais le second se fait sur 9 boules. Sachant R_1 (il reste 5 rouges et 4 bleues) : P(R_2|R_1) = 5{9} P(B_2|R_1) = 4{9} Sachant B_1 (il reste 6 rouges et 3 bleues) : P(R_2|B_1) = 6{9} P(B_2|B_1) = 3{9} Contrôle : les branches somment bien à 1 à chaque nœud ✓
5. Étape 5 : On calcule les deux chemins menant à exactement une rouge : P(R_1 B_2) = 6{10} 4{9} = 24{90} P(B_1 R_2) = 4{10} 6{9} = 24{90} P(exactement une rouge) = 24{90} + 24{90} = 48{90} = 8{15} 0{,}533 👉 Les deux chemins sont égaux, comme dans la situation 1 — et pour la même raison : 6 4{10 9} dans un sens comme dans l'autre, l'ordre des facteurs ne change rien.

   sans remise : 8{15} 0{,}533

6. Étape 6 : Dépendance dans la situation 2. Les deux branches diffèrent : P(R_2|R_1) = 5{9} 0{,}556 tandis que P(R_2|B_1) = 6{9} 0{,}667 Savoir ce qu'a donné le premier tirage change la probabilité du second : les tirages sont dépendants. ⚠️ Et voici le fait qu'on ne devine pas. Calculons la probabilité globale que la deuxième boule soit rouge, sans rien savoir de la première : P(R_2) = 6{10} 5{9} + 4{10} 6{9} = 30{90} + 24{90} = 54{90} = 3{5} = 0{,}6 Exactement P(R_1) ! La deuxième boule a la même chance d'être rouge que la première, alors même que les tirages sont dépendants. 👉 Dépendance ne veut donc pas dire « défavorisé ». Elle veut dire que l'information change la prévision — pas que la prévision de départ soit différente.
7. Étape 7 : Comparaison des deux situations : | | avec remise | sans remise | | --- | --- | --- | | exactement une rouge | 0{,}480 | 0{,}533 | | tirages | indépendants | dépendants | | P(R_2) | 0{,}6 | 0{,}6 | Sans remise, obtenir une de chaque est plus probable — ce qui se comprend : retirer une boule d'une couleur rend l'autre couleur relativement plus abondante, donc favorise le mélange. Symétriquement, obtenir deux boules identiques est moins probable sans remise. Contrôle : P(RR) vaut 0{,}36 avec remise contre 6{10} 5{9} = 1{3} 0{,}333 sans remise ✓
8. Étape 8 : L'erreur classique : Croire que des tirages sans remise pourraient être indépendants, ou l'inverse : croire que la dépendance rend la deuxième boule « moins souvent rouge ». Les deux sont fausses, et l'exercice montre pourquoi : P(R_2) = P(R_1) = 0{,}6 dans les deux situations, alors que l'indépendance n'existe que dans la première. Erreur de calcul associée : oublier de changer le dénominateur au second niveau, en écrivant 5{10} au lieu de 5{9}. À retenir : L'indépendance se lit sur les branches du second niveau : si elles sont identiques quel que soit le chemin, les tirages sont indépendants ; si elles diffèrent, ils sont dépendants. C'est bien plus rapide que de comparer P(A B) à P(A) P(B), et cela donne la même réponse.