Urne avec et sans remise

Énoncé

Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules bleues. On tire deux boules successivement. **Situation 1 :** Tirage **avec remise**. **Situation 2 :** Tirage **sans remise**. Pour chaque situation : a) Construire l'arbre pondéré. b) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge. c) Déterminer si les tirages sont indépendants.

Indice : Avec remise, les probabilités ne changent pas → indépendance. Sans remise, les probabilités changent → dépendance.

Correction

1. Étape 1 : **Situation 1 (avec remise) :** P(R) = 0{,}6 et P(B) = 0{,}4 à chaque tirage. P(RB) = 0{,}6 0{,}4 = 0{,}24 et P(BR) = 0{,}4 0{,}6 = 0{,}24. P(exactement 1 rouge) = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48. Les tirages sont **indépendants** car P(R_2|R_1) = 0{,}6 = P(R_2).
2. Étape 2 : **Situation 2 (sans remise) :** Sachant R_1 : P(R_2|R_1) = 5{9}, P(B_2|R_1) = 4{9}. Sachant B_1 : P(R_2|B_1) = 6{9}, P(B_2|B_1) = 3{9}.
3. Étape 3 : P(R_1 B_2) = 6{10} 4{9} = 24{90} et P(B_1 R_2) = 4{10} 6{9} = 24{90}. P(exactement 1 rouge) = 24{90} + 24{90} = 48{90} = 8{15} 0{,}533. Les tirages sont **dépendants** car P(R_2|R_1) = 5{9} 6{10} = P(R_2).