Succession d'épreuves indépendantes
Énoncé
Un archer atteint sa cible avec une probabilité de 0{,}8 à chaque tir. Les tirs sont indépendants. Il effectue 5 tirs.
a) Calculer la probabilité qu'il atteigne la cible à chaque tir.
b) Calculer la probabilité qu'il manque tous ses tirs.
c) Calculer la probabilité qu'il atteigne la cible au moins une fois.
Indice : a) Produit des probabilités. c) Utilise le complémentaire de b).
Correction
- Étape 1 : Cinq tirs indépendants : l'arbre aurait 2^5 = 32 feuilles, ce qui est impraticable. Heureusement, les trois questions portent sur des événements qui ne demandent pas de le construire.
Répétitions indépendantes :
Quand les épreuves sont indépendantes, la probabilité d'une suite donnée est le produit des probabilités de chaque étape. Pour n répétitions du même succès de probabilité p :
[formule]
« Au moins un » passe par le contraire :
« Au moins un succès » se réalise de 31 façons sur 32 — les énumérer est hors de question. Son contraire, « aucun succès », n'a qu'une seule façon de se produire.
[formule]
- Étape 2 : a) Atteindre la cible aux cinq tirs, c'est réussir le premier et le deuxième et… Les tirs étant indépendants, on multiplie :
P(5 succès) = 0{,}8 0{,}8 0{,}8 0{,}8 0{,}8 = 0{,}8^5
0{,}8^5 = 0{,}32768 0{,}328
👉 Un résultat qui surprend souvent : un archer qui touche 80 \% du temps n'a qu'une chance sur trois de réussir cinq tirs d'affilée. Chaque tir supplémentaire multiplie par 0{,}8, et les multiplications répétées font chuter vite.
P(5 succès) = 0{,}8^5 0{,}328
- Étape 3 : b) Manquer un tir a pour probabilité 1 - 0{,}8 = 0{,}2. Les manquer tous les cinq :
P(5 échecs) = 0{,}2^5 = 0{,}00032
Soit environ 3 chances sur 10\,000 — c'est très peu, ce qui est cohérent avec un bon archer.
P(5 échecs) = 0{,}00032
- Étape 4 : c) « Au moins une fois » signifie une, ou deux, ou trois, ou quatre, ou cinq fois. Plutôt que d'additionner ces cinq cas, on passe au contraire : le seul cas exclu est « aucune fois », qu'on vient justement de calculer.
P(au moins un succès) = 1 - P(aucun succès) = 1 - 0{,}00032 = 0{,}99968
Soit plus de 99{,}9 \% de chances de toucher au moins une fois.
P(au moins un) = 0{,}99968
- Étape 5 : Ce que ces trois nombres disent ensemble, et c'est le vrai enseignement de l'exercice.
| événement | probabilité |
| --- | --- |
| toucher à chaque tir | 0{,}328 |
| ne toucher aucune fois | 0{,}00032 |
| toucher au moins une fois | 0{,}99968 |
Répéter une épreuve rend l'événement « tout réussir » de plus en plus rare, et l'événement « au moins une réussite » de plus en plus certain. Les deux évoluent en sens contraires, et il ne faut pas les confondre.
👉 Contrôle de cohérence : les deux dernières lignes sont complémentaires, donc leur somme doit valoir 1. 0{,}00032 + 0{,}99968 = 1 ✓
- Étape 6 : L'erreur classique :
Lire « au moins une fois » comme « exactement une fois ». Ce sont deux événements très différents : « exactement une » exclut les cas où l'archer touche deux fois ou plus. Ici « exactement une » vaudrait 5 0{,}8 0{,}2^4 = 0{,}0064, contre 0{,}99968 pour « au moins une » — un facteur de plus de 150.
Autre erreur : additionner les probabilités des cinq tirs, 5 0{,}8 = 4. Une probabilité ne peut pas dépasser 1 ; le résultat aurait dû arrêter le calcul.
À retenir :
Devant « au moins un », passe systématiquement par le contraire. C'est le réflexe le plus rentable du chapitre : « au moins un » a beaucoup de façons de se produire, « aucun » n'en a qu'une. Et vérifie toujours que ta réponse est entre 0 et 1 — c'est le contrôle le plus simple qui existe, et il attrape les additions abusives.