Vérifier l'indépendance

Énoncé

On lance deux dés équilibrés. Soit A = « la somme est 7 » et B = « le premier dé donne 3 ». a) Calculer P(A), P(B) et P(A B). b) Les événements A et B sont-ils indépendants ? c) Calculer P(A|B) et vérifier la cohérence.

Indice : Dénombrer les cas favorables parmi les 36 résultats possibles.

Correction

1. Étape 1 : Deux dés, donc un univers de 6 6 = 36 issues équiprobables — chaque couple (dé_1\,;\,dé_2) est une issue. L'exercice est un cas où l'intuition dit « bien sûr que ce n'est pas indépendant » et où le calcul répond le contraire. Tester l'indépendance, en trois calculs : 1. Dénombrer A et en tirer P(A). 2. Dénombrer B et en tirer P(B). 3. Dénombrer A B, puis comparer P(A B) à P(A) P(B). 👉 Le dénombrement doit se faire en listant les issues, pas en raisonnant. C'est plus long de trente secondes et cela supprime l'essentiel des erreurs — notamment l'oubli que (3\,;\,4) et (4\,;\,3) sont deux issues distinctes.
2. Étape 2 : a) L'événement A : « la somme vaut 7 ». On liste les couples, en balayant le premier dé de 1 à 6 : (1\,;\,6), (2\,;\,5), (3\,;\,4), (4\,;\,3), (5\,;\,2), (6\,;\,1) Six issues, donc P(A) = 6{36} = 1{6}. 👉 On remarque que 7 est la somme la plus probable — pour chaque valeur du premier dé, il existe exactement une valeur du second qui convient, ce qui n'est vrai pour aucune autre somme.

   P(A) = 1{6}

3. Étape 3 : L'événement B : « le premier dé donne 3 ». Le second dé est libre : (3\,;\,1), (3\,;\,2), (3\,;\,3), (3\,;\,4), (3\,;\,5), (3\,;\,6) Six issues également, donc P(B) = 6{36} = 1{6}. L'intersection : il faut à la fois que le premier dé donne 3 et que la somme fasse 7. Le second dé est alors forcé à 4 : A B = \{(3\,;\,4)\}, donc P(A B) = 1{36}.

   P(B) = 1{6} P(A B) = 1{36}

4. Étape 4 : b) On applique le critère : P(A) P(B) = 1{6} 1{6} = 1{36} et P(A B) = 1{36}. Les deux sont égaux, donc A et B sont indépendants.

   A et B sont indépendants

5. Étape 5 : c) Vérifions par l'autre formulation : P(A|B) = P(A B){P(B)} = {1{36}}{1{6}} = 1{36} 6 = 1{6} = P(A) ✓ Et cela se comprend directement : une fois le premier dé connu, quel qu'il soit, il faut que le second donne une valeur bien précise pour atteindre 7 — ici 4. La probabilité en est 1{6}, et elle serait la même si le premier dé avait donné 2 (il faudrait 5) ou 6 (il faudrait 1). 👉 C'est là toute la raison de l'indépendance, et elle est propre à la somme 7. Connaître le premier dé n'apporte aucune information, parce que toutes ses valeurs laissent exactement une chance sur six.

   P(A|B) = P(A) = 1{6}

6. Étape 6 : Le contre-exemple qui rend le résultat parlant. Remplaçons la somme 7 par la somme 12. A' = \{(6\,;\,6)\}, donc P(A') = 1{36}. Avec B inchangé, A' B = (le premier dé donne 3, la somme ne peut pas faire 12), donc P(A' B) = 0. Or P(A') P(B) = 1{36} 1{6} = 1{216} 0. Ces deux-là ne sont pas indépendants — savoir que le premier dé a donné 3 rend la somme 12 carrément impossible. 👉 Deux événements de même nature, un seul changement de nombre, et une conclusion opposée. L'indépendance ne se devine pas : elle se calcule.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Répondre « non, ils ne sont pas indépendants, puisque la valeur du premier dé influence évidemment la somme ». L'intuition est raisonnable et la conclusion est fausse : elle l'est pour la somme 12, elle ne l'est pas pour la somme 7. Autre erreur, de dénombrement : oublier que (3\,;\,4) et (4\,;\,3) sont deux issues distinctes, et ne compter que trois couples pour la somme 7. On obtiendrait P(A) = 3{36} et une conclusion inverse. À retenir : Liste les issues, ne les devine pas. Sur deux dés, les couples sont ordonnés : le premier dé et le second sont distincts, même s'ils sont identiques à l'œil. Et ne conclus jamais sur l'indépendance avant d'avoir comparé les trois nombres — c'est la notion du programme où l'intuition se trompe le plus souvent.