Vérifier l'indépendance

Énoncé

On lance deux dés équilibrés. Soit A = « la somme est 7 » et B = « le premier dé donne 3 ». a) Calculer P(A), P(B) et P(A B). b) Les événements A et B sont-ils indépendants ? c) Calculer P(A|B) et vérifier la cohérence.

Indice : Dénombrer les cas favorables parmi les 36 résultats possibles.

Correction

1. Étape 1 : **a)** L'univers contient 36 résultats équiprobables. A = « somme 7 » : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → P(A) = 6{36} = 1{6}. B = « premier dé = 3 » : (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) → P(B) = 6{36} = 1{6}. A B = « somme 7 et premier dé = 3 » : (3,4) → P(A B) = 1{36}.
2. Étape 2 : **b)** P(A) P(B) = 1{6} 1{6} = 1{36} = P(A B). Les événements A et B sont **indépendants**.
3. Étape 3 : **c)** P(A|B) = P(A B){P(B)} = {1{36}}{1{6}} = 1{6} = P(A) ✓ Sachant que le premier dé donne 3, la probabilité que la somme soit 7 est 1{6} (le deuxième dé doit donner 4), ce qui est bien P(A).