Formule de Bayes – Test médical

Énoncé

Une maladie touche 3% de la population (P(M) = 0{,}03). Un test de dépistage a : - une sensibilité de 96% : P(T^+|M) = 0{,}96 - une spécificité de 94% : P(T^-|M) = 0{,}94 a) Calculer P(T^+). b) Calculer la valeur prédictive positive P(M|T^+). c) Interpréter.

Indice : a) Probabilités totales. b) Formule de Bayes. N'oublie pas que P(T^+|M) = 1 - 0{,}94 = 0{,}06.

Correction

1. Étape 1 : Un dépistage médical est l'application la plus utile — et la plus contre-intuitive — de ce chapitre. Il faut d'abord traduire le vocabulaire. Le vocabulaire des tests : - Sensibilité P(T^+|M) : parmi les malades, quelle proportion est détectée. - Spécificité P(T^-|M) : parmi les sains, quelle proportion est correctement rassurée. - Prévalence P(M) : la proportion de malades dans la population testée. - Valeur prédictive positive P(M|T^+) : parmi les positifs, quelle proportion est vraiment malade. 👉 Les trois premières sont données ; la quatrième est celle qui intéresse le patient — et c'est justement celle qu'on doit calculer, parce qu'elle s'obtient en remontant l'arbre. ⚠️ Les deux premières conditionnent sur l'état de santé, la dernière conditionne sur le résultat du test. Le sens du conditionnement s'inverse, et c'est là que tout se joue.
2. Étape 2 : On complète d'abord les données manquantes par passage au contraire : P(M) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97 — la proportion de personnes saines P(T^+|M) = 1 - P(T^-|M) = 1 - 0{,}94 = 0{,}06 — le taux de faux positifs ⚠️ Ce second calcul est indispensable : la spécificité décrit les tests négatifs chez les sains, alors que l'arbre a besoin des tests positifs chez les sains. Ce sont deux branches complémentaires du même nœud.
3. Étape 3 : a) On applique la formule des probabilités totales. Un test positif vient soit d'un malade, soit d'un sain : P(M T^+) = 0{,}03 0{,}96 = 0{,}0288 — les vrais positifs P(M T^+) = 0{,}97 0{,}06 = 0{,}0582 — les faux positifs P(T^+) = 0{,}0288 + 0{,}0582 = 0{,}087 👉 Regardons ces deux nombres avant d'aller plus loin : les faux positifs sont deux fois plus nombreux que les vrais. Toute la suite est déjà contenue là.

   P(T^+) = 0{,}087

4. Étape 4 : b) La valeur prédictive positive se lit maintenant comme une proportion parmi les positifs : P(M|T^+) = P(M T^+){P(T^+)} = 0{,0288}{0{,}087} 0{,}331 Environ 33{,}1 \% des personnes testées positives sont réellement malades.

   P(M|T^+) 0{,}331

5. Étape 5 : c) L'interprétation, et c'est la vraie question. Le test est bon : il détecte 96 \% des malades et rassure correctement 94 \% des sains. Et pourtant, deux tiers des personnes déclarées positives ne sont pas malades. La raison tient à la rareté de la maladie. Sur 10\,000 personnes : - 300 sont malades, dont 288 sont détectées ; - 9\,700 sont saines, dont 582 sont pourtant déclarées positives. Il y a donc bien plus de sains que de malades, et 6 \% d'une très grande population dépasse 96 \% d'une petite. Sur 870 positifs, 288 seulement sont malades — soit 33 \%. ✓ 👉 Ce n'est pas un défaut du test, c'est une propriété de la population testée. C'est pour cette raison qu'un dépistage positif est presque toujours suivi d'un second examen, et qu'on ne dépiste massivement que les maladies suffisamment fréquentes.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre 0{,}96 à la question b), en prenant la sensibilité pour la valeur prédictive. Ce sont deux questions inverses : « quelle proportion des malades est détectée ? » et « quelle proportion des positifs est malade ? ». Ici 96 \% contre 33 \%. Autre confusion fréquente : intervertir sensibilité et spécificité, donc utiliser 0{,}94 là où il faut 0{,}96. Le repère : la sensibilité parle des malades (elle mesure la capacité à sentir la maladie), la spécificité parle des sains. À retenir : Écris toujours les quatre nombres de l'arbre avant de calculer quoi que ce soit : P(M), P(M), P(T^+|M) et P(T^+|M) — ce dernier obtenu par complémentaire de la spécificité. La moitié des erreurs sur ce type d'exercice viennent de cette conversion oubliée.