Formule des probabilités totales

Énoncé

Dans un magasin, 40% des clients sont des femmes (F) et 60% sont des hommes (H). Parmi les femmes, 70% achètent un produit (A). Parmi les hommes, 50% achètent un produit. Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard achète un produit.

Indice : Utilise la formule des probabilités totales : P(A) = P(F) P(A|F) + P(H) P(A|H).

Correction

1. Étape 1 : L'énoncé ne dit nulle part quelle proportion globale de clients achète : il donne les taux séparément chez les femmes et chez les hommes. Il faut donc les recombiner, et la façon de le faire est le sujet de l'exercice. Formule des probabilités totales : Si \{F\,;\,H\} partage l'univers — tout client est soit l'un soit l'autre, jamais les deux — alors : [formule] ⚠️ Le mot pondérer est tout l'enjeu. Chaque taux est multiplié par le poids de son groupe : on ne peut pas se contenter d'additionner 0{,}7 et 0{,}5, ni d'en prendre la moyenne simple. Les femmes ne représentent que 40 \% de la clientèle, leur taux d'achat ne doit donc compter que pour 40 \%. 👉 Prévoyons le résultat : le taux global sera entre 0{,}5 et 0{,}7, et plus proche de 0{,}5 puisque les hommes sont majoritaires.
2. Étape 2 : On vérifie d'abord que la partition est valide : P(F) + P(H) = 0{,}4 + 0{,}6 = 1 ✓. Tout client est bien dans exactement un des deux groupes. On calcule ensuite les deux chemins menant à un achat : P(F A) = P(F) P(A|F) = 0{,}4 0{,}7 = 0{,}28 P(H A) = P(H) P(A|H) = 0{,}6 0{,}5 = 0{,}30
3. Étape 3 : Un client qui achète est soit une femme, soit un homme. On additionne donc les deux chemins : P(A) = 0{,}28 + 0{,}30 = 0{,}58 La probabilité qu'un client pris au hasard achète un produit est de 0{,}58, soit 58 %.

   P(A) = 0{,}58

4. Étape 4 : Les deux contrôles, et le second est instructif. L'encadrement : 0{,}5 < 0{,}58 < 0{,}7 ✓ — le résultat est bien entre les deux taux, comme prévu, et plus près de 0{,}5. En effectifs, sur 100 clients : 40 femmes dont 28 achètent, 60 hommes dont 30 achètent. Total 58 acheteurs sur 100 ✓ 👉 Ce second contrôle vaut mieux qu'une simple vérification : il rend visible pourquoi la moyenne simple serait fausse. Elle donnerait 0{,7 + 0{,}5}{2} = 0{,}6, ce qui reviendrait à supposer autant de femmes que d'hommes. Ce n'est le cas que si les deux groupes sont de même taille — et l'énoncé dit précisément le contraire.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Combiner les deux taux sans les pondérer : additionner (0{,}7 + 0{,}5 = 1{,}2, impossible pour une probabilité) ou faire la moyenne simple (0{,}6, plausible mais faux). La moyenne simple est la plus dangereuse des deux, parce que son résultat ressemble à une bonne réponse. Ici l'écart n'est que de 0{,}02 ; il serait bien plus grand avec des groupes très déséquilibrés — sur 95 \% d'hommes, la vraie valeur serait 0{,}51 et la moyenne simple donnerait toujours 0{,}6. À retenir : Avant de conclure, vérifie que ton résultat est encadré par les taux de chaque groupe, et plus proche de celui du groupe majoritaire. Une probabilité totale est toujours une moyenne pondérée : elle ne peut pas sortir de l'intervalle formé par les valeurs qu'on moyenne.