Lire un arbre pondéré

Énoncé

On donne l'arbre pondéré suivant. **Niveau 1 :** P(A) = 0{,}7 et P(A) = 0{,}3. **Niveau 2 sachant A :** P(B|A) = 0{,}4 et P(B|A) = 0{,}6. **Niveau 2 sachant A :** P(B|A) = 0{,}5 et P(B|A) = 0{,}5. a) Calculer P(A B) et P(A B). b) En déduire P(B). c) Vérifier que la somme de toutes les feuilles vaut 1.

Indice : Utilise la règle du produit le long d'un chemin pour a), puis la somme des chemins menant à B pour b).

Correction

1. Étape 1 : **a)** P(A B) = P(A) P(B|A) = 0{,}7 0{,}4 = 0{,}28. P(A B) = P(A) P(B|A) = 0{,}3 0{,}5 = 0{,}15.
2. Étape 2 : **b)** P(B) = P(A B) + P(A B) = 0{,}28 + 0{,}15 = 0{,}43.
3. Étape 3 : **c)** Les quatre feuilles : P(A B) = 0{,}28, P(A B) = 0{,}7 0{,}6 = 0{,}42, P(A B) = 0{,}15, P(A B) = 0{,}3 0{,}5 = 0{,}15. Somme : 0{,}28 + 0{,}42 + 0{,}15 + 0{,}15 = 1 ✓