Lire un arbre pondéré

Énoncé

On donne l'arbre pondéré suivant. Niveau 1 : P(A) = 0{,}7 et P(A) = 0{,}3. Niveau 2 sachant A : P(B|A) = 0{,}4 et P(B|A) = 0{,}6. Niveau 2 sachant A : P(B|A) = 0{,}5 et P(B|A) = 0{,}5. a) Calculer P(A B) et P(A B). b) En déduire P(B). c) Vérifier que la somme de toutes les feuilles vaut 1.

Indice : Utilise la règle du produit le long d'un chemin pour a), puis la somme des chemins menant à B pour b).

Correction

1. Étape 1 : Ici l'arbre est donné : tout le travail consiste à le lire correctement, ce qui suppose de savoir ce que chaque nombre représente. Ce que porte chaque niveau d'un arbre : Niveau 1 : des probabilités simples — P(A), P(A). Niveau 2 : des probabilités conditionnelles — P(B|A) se lit sur la branche partant de A. Feuilles : des intersections — le produit des branches parcourues donne P(A B).
2. Étape 2 : a) On multiplie le long de chaque chemin menant à B. Chemin par A : on part de A (poids 0{,}7), puis on prend la branche B sachant A (poids 0{,}4) : P(A B) = 0{,}7 0{,}4 = 0{,}28 Chemin par A : poids 0{,}3 puis 0{,}5 : P(A B) = 0{,}3 0{,}5 = 0{,}15

   P(A B) = 0{,}28 P(A B) = 0{,}15

3. Étape 3 : b) L'événement B se réalise par l'un ou l'autre de ces deux chemins, et il n'y en a pas d'autre : soit A est réalisé, soit il ne l'est pas. On additionne donc : P(B) = P(A B) + P(A B) = 0{,}28 + 0{,}15 = 0{,}43 C'est la formule des probabilités totales, appliquée à la partition \{A\,;\,A\}. Contrôle d'encadrement : P(B) est une moyenne pondérée de P(B|A) = 0{,}4 et P(B|A) = 0{,}5, donc elle doit tomber entre les deux. Et 0{,}4 < 0{,}43 < 0{,}5 ✓ — plus proche de 0{,}4, ce qui est logique puisque A pèse 70 \%.

   P(B) = 0{,}43

4. Étape 4 : c) On calcule les deux feuilles restantes, celles qui mènent à B : P(A B) = 0{,}7 0{,}6 = 0{,}42 P(A B) = 0{,}3 0{,}5 = 0{,}15 On additionne les quatre : 0{,}28 + 0{,}42 + 0{,}15 + 0{,}15 = 1 ✓
5. Étape 5 : Pourquoi ce contrôle vaut mieux que tous les autres. Les quatre feuilles décrivent toutes les issues possibles de l'expérience, deux à deux incompatibles. Leur somme vaut donc nécessairement 1 — et ce, quels que soient les nombres de l'arbre. Il teste par conséquent les quatre produits d'un seul coup. Une erreur sur n'importe lequel d'entre eux briserait l'égalité. 👉 On peut d'ailleurs le retrouver autrement, ce qui montre pourquoi il fonctionne toujours : [formule] Chaque nœud ayant des branches de somme 1, le total se réduit toujours à la somme du premier niveau.

   Somme des feuilles = 1

6. Étape 6 : L'erreur classique : Lire 0{,}4 comme P(A B) au lieu de P(B|A). Le nombre écrit sur une branche du second niveau est toujours une conditionnelle : il décrit ce qui se passe une fois qu'on est arrivé au nœud d'où part la branche. L'intersection ne s'obtient qu'en multipliant par tout ce qui précède. Avec cette confusion, on annoncerait P(B) = 0{,}4 + 0{,}5 = 0{,}9 — une somme de deux conditionnelles, qui ne veut rien dire et qui peut même dépasser 1. À retenir : Termine toujours un exercice d'arbre par la somme des feuilles. C'est un contrôle qui coûte trois additions et qui vérifie l'ensemble des produits. Et souviens-toi que les conditionnelles ne s'additionnent jamais entre elles : seules les intersections — les feuilles — peuvent se sommer.