Indépendance et probabilités totales

Énoncé

Un joueur lance une pièce truquée (P(Pile) = 2{3}). S'il obtient Pile, il tire une carte dans un jeu de 32 cartes. S'il obtient Face, il tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit C l'événement « tirer un cœur ». a) Calculer P(C). b) Sachant qu'il a tiré un cœur, quelle est la probabilité qu'il ait obtenu Pile ?

Indice : a) Applique la formule des probabilités totales avec la partition \{Pile, Face\}.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Dans un jeu de 32 cartes : P(C|Pile) = 8{32} = 1{4}. Dans un jeu de 52 cartes : P(C|Face) = 13{52} = 1{4}.
2. Étape 2 : P(C) = P(Pile) P(C|Pile) + P(Face) P(C|Face) = 2{3} 1{4} + 1{3} 1{4} = 2{12} + 1{12} = 3{12} = 1{4}.
3. Étape 3 : **b)** P(Pile|C) = P({Pile C)}{P(C)} = {2{12}}{1{4}} = 2{12} 4{1} = 2{3}.
4. Étape 4 : On retrouve P(Pile|C) = P(Pile) = 2{3}. Les événements C et Pile sont **indépendants** (car les deux jeux ont la même proportion de cœurs).