Indépendance et probabilités totales

Énoncé

Un joueur lance une pièce truquée (P(Pile) = 2{3}). S'il obtient Pile, il tire une carte dans un jeu de 32 cartes. S'il obtient Face, il tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit C l'événement « tirer un cœur ». a) Calculer P(C). b) Sachant qu'il a tiré un cœur, quelle est la probabilité qu'il ait obtenu Pile ?

Indice : a) Applique la formule des probabilités totales avec la partition \{Pile, Face\}.

Correction

1. Étape 1 : Une expérience à deux étapes où la seconde dépend de la première : selon le résultat de la pièce, on ne tire pas dans le même jeu. L'arbre est donc indispensable — et le résultat va réserver une surprise. La méthode : 1. Calculer les probabilités conditionnelles de chaque branche du second niveau. 2. Descendre l'arbre : probabilités totales pour obtenir P(C). 3. Remonter : Bayes pour obtenir P(Pile|C). 👉 Avant de calculer, une remarque qui va tout éclairer : un jeu de 32 cartes et un jeu de 52 cartes contiennent la même PROPORTION de cœurs. Il y a quatre couleurs dans les deux cas, donc un quart de cœurs — 8 sur 32 comme 13 sur 52.
2. Étape 2 : a) On calcule les deux conditionnelles : Jeu de 32 cartes (Pile) : 8 cœurs sur 32 cartes. P(C|Pile) = 8{32} = 1{4} Jeu de 52 cartes (Face) : 13 cœurs sur 52 cartes. P(C|Face) = 13{52} = 1{4} Les deux sont égales, comme annoncé : les deux jeux ont quatre couleurs de même effectif.

   P(C|Pile) = P(C|Face) = 1{4}

3. Étape 3 : On applique les probabilités totales, avec P(Pile) = 2{3} et P(Face) = 1{3} : P(C) = 2{3} 1{4} + 1{3} 1{4} = 2{12} + 1{12} = 3{12} = 1{4} 👉 On pouvait le prévoir sans aucun calcul : les deux branches valant 1{4}, la moyenne pondérée vaut 1{4} quels que soient les poids. On peut d'ailleurs le voir en factorisant : [formule] La pièce truquée n'a aucune influence sur la probabilité de tirer un cœur.

   P(C) = 1{4}

4. Étape 4 : b) On remonte l'arbre : P(Pile|C) = P({Pile C)}{P(C)} = {2{12}}{1{4}} Diviser par 1{4} revient à multiplier par 4 : = 2{12} 4 = 8{12} = 2{3}

   P(Pile|C) = 2{3}

5. Étape 5 : Le résultat vaut exactement P(Pile), et ce n'est pas une coïncidence de calcul. P(Pile|C) = 2{3} = P(Pile) Autrement dit : apprendre qu'un cœur a été tiré n'apporte aucune information sur la pièce. Les événements « Pile » et « tirer un cœur » sont indépendants. Et l'on comprend pourquoi : les deux jeux ayant la même proportion de cœurs, observer un cœur ne permet pas de deviner dans lequel on a tiré. Si le second jeu avait été un jeu de tarot (78 cartes, 14 cœurs, soit 1{6} environ), tirer un cœur aurait au contraire rendu Pile plus probable. 👉 C'est un cas rare et instructif : deux étapes manifestement liées par le protocole — le jeu dépend de la pièce — et pourtant deux événements indépendants au sens probabiliste. La dépendance du montage n'entraîne pas la dépendance des événements.

   P(Pile|C) = P(Pile) \ \ indépendants

6. Étape 6 : L'erreur classique : Additionner les deux conditionnelles sans les pondérer, en écrivant P(C) = 1{4} + 1{4} = 1{2}. Chaque branche doit être multipliée par la probabilité du chemin qui y mène — sans quoi on compte deux fois une expérience qui n'a lieu qu'une seule fois. Autre erreur, de raisonnement : affirmer que les événements sont dépendants « puisque le jeu dépend de la pièce ». Le protocole est bien dépendant ; les événements, non. Seul le calcul tranche. À retenir : Quand toutes les branches d'un niveau portent la même probabilité, on peut la factoriser : la moyenne pondérée vaut alors cette valeur commune, quels que soient les poids. Repérer cette situation évite un calcul — et elle signale toujours une indépendance.