Test médical et faux positifs

Énoncé

Une maladie touche 2% de la population. Un test a une sensibilité de 98% (P(T^+|M) = 0{,}98) et une spécificité de 95% (P(T^-|M) = 0{,}95). a) Calculer P(T^+). b) Calculer P(M|T^+). c) Interpréter le résultat.

Indice : Utilise la formule des probabilités totales puis la formule de Bayes.

Correction

1. Étape 1 : Même structure que l'exercice 13011 — un dépistage, une valeur prédictive à calculer — mais avec une maladie encore plus rare (2 \% au lieu de 3 \%) et un test un peu meilleur. On va voir que le résultat empire quand même. La méthode, en trois temps : 1. Compléter l'arbre : P(M) et le taux de faux positifs P(T^+|M), obtenus par complémentaire. 2. Descendre : les deux chemins menant à T^+, puis leur somme. 3. Remonter : la part des vrais positifs dans le total. 👉 Et l'on va traiter cet exercice deux fois : d'abord par les probabilités, ensuite en effectifs. La seconde méthode donne le même résultat, mais elle le rend évident au lieu de le rendre calculable — et c'est elle qu'il faut employer pour expliquer le phénomène à quelqu'un.
2. Étape 2 : On complète les données : P(M) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98 P(T^+|M) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05 — le taux de faux positifs a) On descend l'arbre : P(M T^+) = 0{,}02 0{,}98 = 0{,}0196 P(M T^+) = 0{,}98 0{,}05 = 0{,}049 P(T^+) = 0{,}0196 + 0{,}049 = 0{,}0686

   P(T^+) = 0{,}0686

3. Étape 3 : b) On remonte : P(M|T^+) = P(M T^+){P(T^+)} = 0{,0196}{0{,}0686} 0{,}286 Environ 28{,}6 \% des personnes testées positives sont réellement malades.

   P(M|T^+) 0{,}286

4. Étape 4 : Le même calcul en EFFECTIFS, sur une population de 10\,000 personnes. C'est la façon la plus claire de comprendre le résultat, et elle ne demande aucune formule. | | effectif | testés positifs | | --- | --- | --- | | malades (2 \%) | 200 | 200 0{,}98 = 196 | | sains (98 \%) | 9\,800 | 9\,800 0{,}05 = 490 | | total | 10\,000 | 686 | Parmi les 686 personnes déclarées positives, 196 sont vraiment malades : 196{686} 0{,}286 ✓ — le même résultat, par un chemin où l'on ne manipule que des personnes. 👉 Tout est visible dans le tableau : le test ne se trompe que sur 5 \% des sains, mais les sains sont 49 fois plus nombreux que les malades — donc ses 490 erreurs sur une grande population écrasent ses 196 détections sur une petite. Autrement dit, le test se trompe rarement par personne et souvent en nombre, parce qu'il est appliqué à énormément de gens qui n'ont rien. Ce sont deux façons de compter la même performance, et elles ne donnent pas du tout le même sentiment.
5. Étape 5 : Ce dont dépend vraiment la réponse : la prévalence. Gardons exactement le même test — sensibilité 98 \%, spécificité 95 \% — et changeons seulement la population dépistée : | prévalence | valeur prédictive positive | | --- | --- | | 2 \% (dépistage de masse) | 28{,}6 \% | | 10 \% (population à risque) | 68{,}5 \% | | 20 \% (patients symptomatiques) | 83{,}1 \% | | 50 \% (forte suspicion clinique) | 95{,}1 \% | Le même test passe de 29 \% à 95 \% de fiabilité sans qu'aucune de ses caractéristiques ne change. Seule la population testée a bougé. 👉 C'est l'enseignement central : un test n'a pas de fiabilité en soi. Sa valeur dépend de qui l'on teste — ce qui explique pourquoi les médecins ne dépistent pas au hasard, mais après un examen qui a déjà relevé la prévalence.
6. Étape 6 : Comparaison avec l'exercice 13011, qui portait sur un test légèrement moins bon appliqué à une maladie un peu plus fréquente : | | 13011 | 13007 | | --- | --- | --- | | prévalence | 3 \% | 2 \% | | sensibilité | 96 \% | 98 \% | | spécificité | 94 \% | 95 \% | | valeur prédictive | 33{,}1 \% | 28{,}6 \% | Le test de 13007 est meilleur sur les deux critères, et sa valeur prédictive est pourtant plus faible. 👉 La prévalence l'emporte sur la qualité du test. Améliorer la spécificité de 94 à 95 \% ne compense pas une maladie une fois et demie plus rare.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Conclure « le test n'est pas fiable ». Le test est excellent — il détecte 98 \% des malades. Ce qui est faible, c'est la valeur prédictive dans cette population-là, et c'est une propriété du couple test-population, pas du test. Autre erreur, de lecture : prendre P(T^+) = 0{,}0686 pour la proportion de malades. C'est la proportion de positifs, qui est plus de trois fois supérieure à la prévalence réelle de 2 \% — précisément à cause des faux positifs. À retenir : Devant un résultat contre-intuitif, repasse en effectifs sur 10\,000 personnes. Le tableau à quatre cases est plus rapide que la formule, il ne se trompe pas de sens de conditionnement, et il montre *pourquoi* la réponse est ce qu'elle est. C'est aussi la seule façon de convaincre quelqu'un qui n'a pas fait de probabilités.