Arbre pondéré sans remise

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire deux boules successivement sans remise. a) Représenter la situation par un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.

Indice : Sans remise, les probabilités changent au deuxième tirage. N'oublie pas de recalculer.

Correction

1. Étape 1 : Un mot de l'énoncé change tout par rapport à l'exercice 13004 : sans remise. La première boule ne retourne pas dans l'urne, donc le second tirage ne se fait plus dans les mêmes conditions. Ce que change le « sans remise » : Au second tirage, il reste une boule de moins — donc le dénominateur passe de 8 à 7 — et une boule de moins de la couleur déjà tirée au numérateur. Les probabilités du second niveau dépendent alors de ce qui s'est passé au premier : les deux tirages ne sont pas indépendants.
2. Étape 2 : a) L'urne contient 5 + 3 = 8 boules. Premier tirage, sur 8 boules : P(R_1) = 5{8} P(V_1) = 3{8} Second tirage sachant R_1 — il reste 7 boules, dont 4 rouges (une rouge est partie) : P(R_2|R_1) = 4{7} P(V_2|R_1) = 3{7} Second tirage sachant V_1 — il reste 7 boules, dont 5 rouges et 2 vertes : P(R_2|V_1) = 5{7} P(V_2|V_1) = 2{7} Contrôle : à chaque nœud les branches somment à 1 — 4{7} + 3{7} = 1 ✓ et 5{7} + 2{7} = 1 ✓
3. Étape 3 : b) « Deux boules de la même couleur » se réalise par deux chemins : RR ou VV. On multiplie le long de chacun. P(RR) = 5{8} 4{7} = 20{56} P(VV) = 3{8} 2{7} = 6{56} On garde le dénominateur commun 56 pour pouvoir additionner directement.
4. Étape 4 : On additionne les deux chemins : P(même couleur) = 20{56} + 6{56} = 26{56} On simplifie par 2 : P(même couleur) = 13{28} 0{,}464

   P(même couleur) = 13{28} 0{,}464

5. Étape 5 : Contrôle par le complémentaire. « Couleurs différentes » correspond aux deux autres chemins : P(RV) = 5{8} 3{7} = 15{56} et P(VR) = 3{8} 5{7} = 15{56} Somme des quatre feuilles : 20 + 15 + 15 + 6{56} = 56{56} = 1 ✓ Et une comparaison qui éclaire le rôle du « sans remise ». Avec remise, on aurait P(RR) = (5{8})^2 = 25{64} au lieu de 20{56} 0{,}357 — soit 0{,}391. Retirer la boule diminue la probabilité d'en tirer une seconde de la même couleur, ce qui est intuitif : il en reste moins. 👉 On remarque aussi que P(RV) = P(VR), alors que les chemins sont différents. Ce n'est pas un hasard : les deux valent 5 3{8 7}, l'ordre des facteurs ne changeant rien au produit.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier de changer le dénominateur au second niveau et écrire P(R_2|R_1) = 4{8}. Il ne reste que 7 boules après le premier tirage : le total change autant que le nombre de rouges. Erreur voisine : garder les mêmes probabilités qu'au premier niveau, comme s'il y avait remise. La somme des feuilles ne ferait alors plus 1 — ce qui est justement le contrôle qui l'attrape. À retenir : Sans remise, les deux nombres de la fraction diminuent : le dénominateur à chaque tirage, le numérateur seulement pour la couleur qu'on vient de retirer. Et compare toujours au cas « avec remise » quand c'est possible — l'écart entre les deux résultats doit aller dans le sens que le bon sens indique.