Formule des probabilités totales

Énoncé

Une entreprise a deux fournisseurs. Le fournisseur F_1 fournit 70% des pièces (2% de défauts) et F_2 fournit 30% (5% de défauts). a) Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. b) Sachant qu'une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne de F_1 ?

Indice : a) Formule des probabilités totales. b) Formule de Bayes (probabilité conditionnelle inversée).

Correction

1. Étape 1 : Deux questions qui vont dans des sens opposés sur le même arbre, et c'est tout l'intérêt de l'exercice. Descendre puis remonter l'arbre : Probabilités totales (on descend) : quand \{F_1, F_2\} partage l'univers, [formule] Bayes (on remonte) : pour retrouver la cause à partir de l'effet, [formule] La question a) descend l'arbre : on connaît les fournisseurs et l'on cherche le défaut. La question b) le remonte : on constate le défaut et l'on cherche d'où vient la pièce.
2. Étape 2 : a) On relève les données de l'énoncé : P(F_1) = 0{,}7 et P(D|F_1) = 0{,}02 (2 % de défauts chez F_1) P(F_2) = 0{,}3 et P(D|F_2) = 0{,}05 (5 % chez F_2) On calcule les deux chemins menant à une pièce défectueuse : P(F_1 D) = 0{,}7 0{,}02 = 0{,}014 P(F_2 D) = 0{,}3 0{,}05 = 0{,}015
3. Étape 3 : Une pièce défectueuse vient soit de F_1, soit de F_2 — il n'y a pas d'autre possibilité. On additionne donc les deux chemins : P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029 Soit 2{,}9 \% de pièces défectueuses au total. Contrôle d'encadrement : le taux global doit se situer entre les deux taux individuels, 2 \% et 5 \%, puisque c'est une moyenne pondérée. Et 2 \% < 2{,}9 \% < 5 \% ✓ — plus proche de 2 \%, ce qui est cohérent avec le fait que F_1 fournit la majorité des pièces.

   P(D) = 0{,}029

4. Étape 4 : b) On remonte maintenant l'arbre. Parmi toutes les pièces défectueuses — il y en a 0{,}029 en proportion — quelle part vient de F_1 ? P(F_1|D) = P(F_1 D){P(D)} = 0{,014}{0{,}029} 0{,}483 Environ 48{,}3 \% des pièces défectueuses proviennent de F_1.

   P(F_1|D) 0{,}483

5. Étape 5 : Ce que ce nombre raconte, et il est contre-intuitif. F_1 est le bon fournisseur : il ne produit que 2 \% de défauts, contre 5 \% pour F_2. Et pourtant il est responsable de près de la moitié des pièces défectueuses. La raison est qu'il fournit beaucoup plus de pièces : 70 \% contre 30 \%. Un petit taux appliqué à un gros volume donne un nombre comparable à un gros taux sur un petit volume. En effectifs, sur 1\,000 pièces : 700 de F_1 dont 14 défectueuses, 300 de F_2 dont 15 défectueuses. Total 29 défectueuses, dont 14 de F_1 — soit 14{29} 48 \% ✓ 👉 C'est le cœur de Bayes : la proportion des causes compte autant que leur dangerosité. On le retrouvera, en bien plus spectaculaire, sur les tests médicaux des exercices 13011 et 13007.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre 0{,}02 à la question b), en prenant la donnée P(D|F_1) pour la réponse P(F_1|D). Ce sont deux questions inverses : « quelle proportion des pièces de F_1 est défectueuse ? » et « quelle proportion des pièces défectueuses vient de F_1 ? ». Ici 2 \% contre 48 \% — un facteur 24. Autre erreur : croire que P(D) est la moyenne des deux taux, 0{,02 + 0{,}05}{2} = 0{,}035. Il faut pondérer par les proportions de chaque fournisseur, sans quoi on donne autant de poids à F_2 qui n'en fournit que 30 \%. À retenir : Quand un résultat surprend, repasse en effectifs sur 1\,000 ou 10\,000 unités : les proportions deviennent des nombres de pièces, et l'inversion cesse d'être un tour de passe-passe. C'est la méthode la plus sûre pour vérifier un calcul de Bayes, et la plus convaincante pour l'expliquer à quelqu'un.