Arbre pondéré simple

Énoncé

Un sac contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire deux boules avec remise. a) Construire un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges. c) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge.

Indice : Avec remise, les probabilités ne changent pas au deuxième tirage.

Correction

1. Étape 1 : L'arbre pondéré est l'outil central du chapitre. Deux règles le font fonctionner, et il faut les tenir séparées. Les deux règles de l'arbre : Le long d'un chemin, on MULTIPLIE les probabilités rencontrées — un chemin décrit une succession d'événements, donc un « et ». Entre plusieurs chemins, on ADDITIONNE — plusieurs chemins décrivent des façons différentes d'aboutir, donc un « ou ». ⚠️ Le mot « avec remise » de l'énoncé est décisif : la boule tirée retourne dans le sac, donc le second tirage se fait dans le même sac que le premier. Les probabilités du second niveau sont identiques à celles du premier, et les deux tirages sont indépendants.
2. Étape 2 : a) Le sac contient 4 + 6 = 10 boules. À chaque tirage : P(R) = 4{10} = 0{,}4 P(B) = 6{10} = 0{,}6 L'arbre a donc deux niveaux identiques : au premier tirage deux branches (R et B) pondérées 0{,}4 et 0{,}6 ; au second, les mêmes deux branches sous chacune, avec les mêmes poids. Contrôle : à chaque nœud, la somme des branches issues d'un même point vaut 1. Ici 0{,}4 + 0{,}6 = 1 ✓
3. Étape 3 : b) « Deux boules rouges » correspond à un seul chemin de l'arbre : R puis R. On multiplie donc le long de ce chemin : P(RR) = 0{,}4 0{,}4 = 0{,}16

   P(RR) = 0{,}16

4. Étape 4 : c) « Exactement une boule rouge » ne dit pas laquelle. Deux chemins y mènent : - rouge puis bleue : 0{,}4 0{,}6 = 0{,}24 - bleue puis rouge : 0{,}6 0{,}4 = 0{,}24 Ce sont deux issues distinctes de l'expérience, même si le résultat « une rouge et une bleue » est le même. On additionne : P(exactement une rouge) = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48

   P(exactement une rouge) = 0{,}48

5. Étape 5 : Le contrôle qui vérifie tout l'arbre d'un coup : la somme des quatre feuilles doit valoir 1. | chemin | calcul | probabilité | | --- | --- | --- | | RR | 0{,}4 0{,}4 | 0{,}16 | | RB | 0{,}4 0{,}6 | 0{,}24 | | BR | 0{,}6 0{,}4 | 0{,}24 | | BB | 0{,}6 0{,}6 | 0{,}36 | Somme : 0{,}16 + 0{,}24 + 0{,}24 + 0{,}36 = 1 ✓ 👉 Ce contrôle est le plus rentable du chapitre : il teste tous les produits à la fois. Si la somme ne fait pas 1, il y a une erreur quelque part dans l'arbre — et si elle fait 1, les quatre chemins sont très probablement justes.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Ne compter qu'un seul chemin en c) et répondre 0{,}24. « Exactement une rouge » se réalise de deux façons — rouge d'abord ou bleue d'abord — et l'ordre compte dans l'arbre, même s'il ne compte pas dans le résultat final. Erreur voisine, dans l'autre sens : additionner le long d'un chemin, en écrivant P(RR) = 0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8. On obtiendrait une probabilité plus grande que celle d'obtenir une seule rouge, ce qui est absurde : exiger deux choses ne peut pas être plus probable que d'en exiger une. À retenir : Le long d'un chemin on multiplie ; entre les chemins on additionne. Et devant un « exactement un », « au moins un » ou « au plus un », prends le réflexe de lister les chemins avant de calculer — c'est là que se perdent les points, pas dans l'arithmétique.