Vérifier l'indépendance

Énoncé

On lance un dé équilibré. Soit A = « obtenir un multiple de 3 » et B = « obtenir un nombre pair ». Les événements A et B sont-ils indépendants ?

Indice : Vérifie si P(A B) = P(A) P(B).

Correction

1. Étape 1 : L'indépendance est la notion du chapitre qu'on croit comprendre intuitivement — et cette intuition trompe presque toujours. Il faut donc s'en tenir strictement au critère. Événements indépendants : A et B sont indépendants si et seulement si : [formule] Ce qui revient à dire, quand P(A) 0, que P(B|A) = P(B) : savoir que A s'est produit ne change rien à B. La méthode est donc mécanique : calculer les trois probabilités séparément, puis comparer. Aucune intuition n'est requise, et c'est heureux.
2. Étape 2 : L'univers est \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}, avec six issues équiprobables. A = « multiple de 3 » = \{3\,;\,6\}, donc P(A) = 2{6} = 1{3}. ⚠️ 6 est bien un multiple de 3, et 3 aussi — un nombre est multiple de lui-même. Oublier l'un des deux fausse tout le reste. B = « nombre pair » = \{2\,;\,4\,;\,6\}, donc P(B) = 3{6} = 1{2}.

   P(A) = 1{3} P(B) = 1{2}

3. Étape 3 : L'intersection contient les issues qui sont à la fois multiples de 3 et paires : A B = \{6\}, donc P(A B) = 1{6} On liste bien les issues plutôt que de raisonner : 3 est multiple de 3 mais impair, 2 et 4 sont pairs mais pas multiples de 3. Seul 6 vérifie les deux.

   P(A B) = 1{6}

4. Étape 4 : On compare maintenant le produit à l'intersection : P(A) P(B) = 1{3} 1{2} = 1{6} et P(A B) = 1{6}. Les deux sont égaux, donc les événements sont indépendants.

   P(A B) = P(A) P(B) \ \ indépendants

5. Étape 5 : Ce résultat surprend, et il vaut la peine de comprendre pourquoi. Savoir que le dé est tombé sur un nombre pair ne change rien à la probabilité qu'il soit multiple de 3. Vérifions-le par l'autre formulation : Parmi \{2\,;\,4\,;\,6\}, un seul est multiple de 3, donc P(A|B) = 1{3} — exactement P(A). ✓ Or les deux événements se chevauchent (ils partagent le 6) et ne sont manifestement pas « sans rapport » au sens courant. L'indépendance n'est pas une histoire de rapport intuitif, c'est une égalité numérique — et elle tient ici à une coïncidence arithmétique : sur six faces, il y a exactement autant de multiples de 3 parmi les paires que dans l'ensemble. 👉 Changez le dé et tout s'effondre : sur un dé à huit faces, A = \{3\,;\,6\} donne P(A) = 1{4}, tandis que parmi les paires \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\} un seul convient, soit P(A|B) = 1{4}… encore égal. Mais sur un dé à dix faces, P(A) = 3{10} et P(A|B) = 1{5} : les événements deviennent dépendants.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre « non, ils ne sont pas indépendants, puisqu'ils ont le 6 en commun ». Partager une issue n'a rien à voir avec l'indépendance — au contraire, deux événements sans issue commune sont incompatibles, et donc dépendants au sens le plus fort qui soit : si l'un arrive, l'autre est impossible. La seule façon de trancher est de calculer les trois probabilités et de comparer. À retenir : Incompatibles (A B = ) et indépendants (P(A B) = P(A)P(B)) sont deux notions différentes, et même presque opposées. Deux événements de probabilité non nulle ne peuvent d'ailleurs pas être les deux à la fois : incompatibles donnerait P(A B) = 0, alors que P(A)P(B) > 0.