Probabilité de l'intersection

Énoncé

On sait que P(A) = 0{,}4, P(B) = 0{,}5 et P(A|B) = 0{,}3. Calculer P(A B) puis P(B|A).

Indice : P(A B) = P(B) P(A|B).

Correction

1. Étape 1 : Aucun effectif ici, seulement trois probabilités. Tout va donc reposer sur une seule relation, lue dans les deux sens. La relation qui sert dans les deux sens : [formule] C'est la même égalité, réécrite : à gauche on divise pour obtenir une conditionnelle, à droite on multiplie pour obtenir une intersection. Savoir dans quel sens la lire selon ce qu'on cherche est tout l'exercice. 👉 Et un point qui rend la suite immédiate : l'intersection est symétrique. A B et B A désignent le même événement, donc le même nombre. C'est ce qui permettra de passer de P(A|B) à P(B|A) en passant par l'intersection — le pivot des deux questions.
2. Étape 2 : Première question. On cherche P(A B), et l'on connaît P(A|B) : c'est donc le sens multiplicatif qu'il faut employer. P(A B) = P(B) P(A|B) = 0{,}5 0{,}3 = 0{,}15 ⚠️ On multiplie par P(B) — celui qui est derrière la barre — et non par P(A). Le repère : dans P(A|B) = P(A B){P(B)}, c'est P(B) qui est au dénominateur, donc c'est lui qui remonte en facteur.

   P(A B) = 0{,}15

3. Étape 3 : Seconde question. On cherche maintenant P(B|A) : le conditionnement s'inverse, donc c'est P(A) qui passe au dénominateur. P(B|A) = P(A B){P(A)} = 0{,15}{0{,}4} = 0{,}375 L'intersection, elle, n'a pas changé : c'est le pivot entre les deux conditionnelles.

   P(B|A) = 0{,}375

4. Étape 4 : Ce que ces deux nombres racontent. On a P(A|B) = 0{,}3 et P(B|A) = 0{,}375 : deux valeurs différentes pour deux questions différentes. Et la raison de l'écart se lit dans la relation : [formule] Comme P(A) = 0{,}4 est plus petit que P(B) = 0{,}5, il faut que P(B|A) soit plus grand que P(A|B) pour que les deux produits s'égalisent. C'est bien ce qu'on observe. Contrôle : 0{,}3 0{,}5 = 0{,}15 et 0{,}375 0{,}4 = 0{,}15 ✓

   P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) = 0{,}15

5. Étape 5 : Deux contrôles de plausibilité, à faire systématiquement sur ce chapitre. Une probabilité reste entre 0 et 1. Ici 0{,}15 et 0{,}375 ✓ Une intersection est toujours plus petite que chacun des deux événements — puisqu'elle exige les deux à la fois : P(A B) = 0{,}15 P(A) = 0{,}4 ✓ et P(B) = 0{,}5 ✓ 👉 Ce second contrôle attrape à lui seul la plupart des erreurs de sens : si l'on avait divisé au lieu de multiplier, on aurait trouvé 0{,3}{0{,}5} = 0{,}6, supérieur à P(A) = 0{,}4 — donc impossible pour une intersection.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Diviser là où il fallait multiplier, et annoncer P(A B) = 0{,3}{0{,}5} = 0{,}6. Le contrôle ci-dessus le refuse immédiatement : une intersection ne peut pas dépasser P(A) = 0{,}4. Autre confusion, plus insidieuse : croire que P(A|B) = P(B|A). Ces deux nombres ne sont égaux que si P(A) = P(B), ce qui n'a aucune raison d'arriver. Ici l'un vaut 0{,}3, l'autre 0{,}375. À retenir : Un seul repère suffit pour choisir le sens : on cherche une intersection ⟹ on multiplie ; on cherche une conditionnelle ⟹ on divise. Et le facteur ou le diviseur est toujours la probabilité de ce qui suit la barre. Termine par le contrôle « l'intersection est plus petite que chacun » : il est gratuit et attrape le mauvais sens.