Calculer une probabilité conditionnelle

Énoncé

Dans une classe de 30 élèves, 18 font de l'anglais (A) et 12 font de l'espagnol (E). Parmi ceux qui font de l'anglais, 6 font aussi de l'espagnol. Calculer P(E|A).

Indice : P(E|A) = P(E A){P(A)}. Utilise les effectifs.

Correction

1. Étape 1 : Conditionner, c'est changer d'univers. Quand on écrit P(E|A) — « probabilité de E sachant A » — on ne s'intéresse plus à la classe entière, mais seulement aux élèves qui font de l'anglais. Ils deviennent le nouveau tout. Probabilité conditionnelle : Pour P(A) 0 : [formule] On compte ce qui vérifie les deux conditions, rapporté à ce qui vérifie celle qui est donnée. Repère qui ne trompe pas : ce qui suit la barre est ce qu'on suppose acquis, donc c'est lui qui va au dénominateur.
2. Étape 2 : On relève les effectifs de l'énoncé et l'on en tire les probabilités, sur les 30 élèves de la classe : P(A) = 18{30} = 3{5} — la proportion d'anglicistes P(E A) = 6{30} = 1{5} — la proportion d'élèves qui font les deux ⚠️ Les 6 élèves de l'énoncé sont bien ceux qui font les deux langues : « parmi ceux qui font de l'anglais, 6 font aussi de l'espagnol ».
3. Étape 3 : On applique la formule : P(E|A) = P(E A){P(A)} = {1{5}}{3{5}} Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : = 1{5} 5{3} = 5{15} = 1{3}

   P(E|A) = 1{3}

4. Étape 4 : Le second chemin, et c'est lui qui fait comprendre le chapitre. On peut lire la réponse directement dans l'énoncé, sans aucune formule. On se place parmi les 18 anglicistes — c'est le nouvel univers. Parmi eux, 6 font aussi de l'espagnol. Donc : P(E|A) = 6{18} = 1{3} ✓ Même résultat, et pour une raison qui saute aux yeux quand on écrit les deux côte à côte : [formule] Les 30 se simplifient. 👉 La formule ne fait que ça : elle change le dénominateur commun, en remplaçant « sur toute la classe » par « sur les anglicistes ». Conditionner, c'est bien restreindre l'univers.
5. Étape 5 : Un contrôle qui vaut d'être pris en réflexe : comparer P(E|A) à P(E). Ici P(E) = 12{30} = 2{5} = 0{,}4, tandis que P(E|A) = 1{3} 0{,}33. Les deux diffèrent, donc savoir qu'un élève fait de l'anglais change la probabilité qu'il fasse de l'espagnol : les deux événements ne sont pas indépendants. Ici l'information joue légèrement contre l'espagnol. 👉 C'est déjà la définition de l'indépendance, vue de l'autre côté : deux événements sont indépendants quand conditionner ne change rien.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Inverser le conditionnement et calculer P(A|E), la probabilité de faire de l'anglais sachant qu'on fait de l'espagnol. Elle vaut 6{12} = 1{2} — un tout autre nombre, sur une tout autre question. Seconde erreur, plus fréquente encore : oublier la division et répondre P(E A) = 1{5}. C'est la proportion d'élèves faisant les deux langues dans toute la classe ; la question porte sur les seuls anglicistes. À retenir : Demande-toi toujours « parmi qui ? ». Ce qui suit la barre définit la population de référence, donc le dénominateur. Et quand l'énoncé donne des effectifs, calcule la réponse des deux façons — par la formule et en comptant directement dans le sous-groupe. Deux chemins qui concordent valent mieux qu'un seul.