Signe d'un quotient et inéquations quotients

Énoncé

1. Dresser le tableau de signes de Q(x) = (2x - 6)/(x + 1). 2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation (2x - 6)/(x + 1) ≤ 0. 3. Résoudre l'inéquation (x + 3)/(x - 2) ≥ 1.

Indice : Le signe d'un quotient s'étudie comme celui d'un produit, mais la valeur qui annule le dénominateur est interdite. Pour la question 3, ramène tout du même côté pour comparer à 0.

Correction

1. Étape 1 : Le signe d'un quotient se lit dans un tableau de signes, exactement comme celui d'un produit, avec la même règle des signes. Le signe d'un quotient : 1. chercher où s'annulent le numérateur et le dénominateur ; 2. la valeur qui annule le dénominateur est interdite : on la marque d'une double barre ‖ ; 3. donner le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle des signes colonne par colonne. 👉 Pour comparer un quotient à un nombre autre que 0, on se ramène toujours à une comparaison avec 0, en passant tout du même côté. Multiplier par le dénominateur est interdit tant qu'on ne connaît pas son signe.
2. Étape 2 : 1) Le numérateur 2x - 6 s'annule en x = 3 ; le dénominateur x + 1 s'annule en x = -1, qui est donc interdit. Les deux facteurs ont un coefficient de x positif : chacun est négatif avant sa valeur d'annulation, positif après. | x | -∞ | | -1 | | 3 | | +∞ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 2x-6 | | - | | - | 0 | + | | | x+1 | | - | 0 | + | | + | | | Q(x) | | + | ‖ | - | 0 | + | | Contrôle en x = 0 : Q(0) = (-6)/1 = -6 < 0, ce qui correspond bien à la colonne du milieu ✓
3. Étape 3 : 2) On cherche les x pour lesquels Q(x) est négatif ou nul : c'est la colonne du milieu, plus la valeur x = 3, où le quotient vaut 0. Le crochet est ouvert en -1, car c'est une valeur interdite, et fermé en 3, car l'inégalité est large. S = ]-1 ; 3]

   S = ]-1 ; 3]

4. Étape 4 : 3) La valeur x = 2 est interdite. On passe tout du même côté, puis on réduit au même dénominateur : (x+3)/(x-2) - 1 ≥ 0 ⟺ (x + 3 - (x - 2))/(x - 2) ≥ 0 ⟺ 5/(x - 2) ≥ 0 ⚠️ Le signe « - » porte sur toute l'expression x - 2 : x + 3 - (x - 2) = x + 3 - x + 2 = 5.

   5/(x - 2) ≥ 0

5. Étape 5 : Le numérateur 5 est toujours positif, et ne s'annule jamais. Le quotient a donc le signe du dénominateur x - 2 : il est positif exactement quand x - 2 > 0, c'est-à-dire x > 2. Il n'est jamais nul. S = ]2 ; +∞[ Contrôle : pour x = 3, 6/1 = 6 ≥ 1 ✓ ; pour x = 0, 3/(-2) = -1,5, qui n'est pas supérieur ou égal à 1 ✓, et 0 n'est bien pas dans S.

   S = ]2 ; +∞[

6. Étape 6 : L'erreur classique : En 3), multiplier les deux membres par x - 2 comme dans une équation : on obtiendrait x + 3 ≥ x - 2, soit 3 ≥ -2, toujours vrai, et l'on conclurait que tout réel différent de 2 est solution. C'est faux : pour x = 0, le quotient vaut -1,5. Multiplier par x - 2 renverse le sens de l'inégalité quand x - 2 est négatif — or son signe dépend de x. À retenir : Un quotient se compare à 0 par un tableau de signes, avec une double barre ‖ à la valeur interdite, toujours exclue des solutions. 👉 Pour le comparer à un autre nombre, on passe tout du même côté et on réduit au même dénominateur.