Inéquation avec valeur absolue

Énoncé

Résoudre dans R les inéquations suivantes : a) |3x - 6| > 9 b) |x + 2| 4 c) |2x - 1| < |x + 3|

Indice : Pour a) et b), utilise la définition de la valeur absolue (|X| > a X > a ou X < -a). Pour c), passe au carré des deux membres (les deux côtés sont positifs).

Correction

1. Étape 1 : **a)** |3x - 6| > 9 signifie 3x - 6 > 9 ou 3x - 6 < -9.

   3x - 6 > 9 3x > 15 x > 5

2. Étape 2 : Ou bien 3x - 6 < -9 3x < -3 x < -1.

   S = ]- \,;\, -1[ \;\; ]5 \,;\, +[

3. Étape 3 : **b)** |x + 2| 4 signifie -4 x + 2 4, soit -6 x 2.

   S = [-6 \,;\, 2]

4. Étape 4 : **c)** Comme les deux membres sont positifs, on peut élever au carré (le sens est conservé).

   |2x - 1| < |x + 3| (2x - 1)^2 < (x + 3)^2

5. Étape 5 : On développe : 4x^2 - 4x + 1 < x^2 + 6x + 9.

   3x^2 - 10x - 8 < 0

6. Étape 6 : On factorise le trinôme. = 100 + 96 = 196 = 14^2. Racines : x = 10 14{6}, soit x = 4 ou x = -2{3}.

   3x^2 - 10x - 8 < 0 3(x + 2{3})(x - 4) < 0

7. Étape 7 : Le trinôme (coefficient dominant positif) est négatif entre ses racines.

   S = ]-2{3} \,;\, 4[