Inéquation avec valeur absolue
Énoncé
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
a) |3x - 6| > 9
b) |x + 2| 4
c) |2x - 1| < |x + 3|
Indice : Pour a) et b), utilise la définition de la valeur absolue (|X| > a X > a ou X < -a). Pour c), passe au carré des deux membres (les deux côtés sont positifs).
Correction
- Étape 1 : Trois inéquations de difficulté croissante. Les deux premières relèvent des formes de base ; la troisième demande un détour qu'il faut connaître.
Les deux formes de base :
[formule]
[formule]
👉 Le sens de l'inégalité décide de la forme de la réponse : « plus grand que » donne deux morceaux séparés, « plus petit que » un seul intervalle. Se tromper de forme, c'est se tromper de tout.
- Étape 2 : a) |3x-6| > 9 : c'est la première forme, donc deux cas.
3x - 6 > 9 3x > 15 x > 5
ou 3x - 6 < -9 3x < -3 x < -1
[formule]
⚠️ Dans le second cas, c'est bien -9 et non 9 : la quantité 3x-6 est alors très négative, et sa valeur absolue redevient grande.
S = \, ]- \,;\, -1[ \; \; ]5 \,;\, +[
- Étape 3 : b) |x+2| 4 : c'est la seconde forme, donc un encadrement.
-4 x + 2 4
On soustrait 2 aux trois membres :
[formule]
S = [-6 \,;\, 2]
- Étape 4 : c) |2x-1| < |x+3| : les deux membres portent une valeur absolue, donc aucune des deux formes ne s'applique.
Le détour : élever au carré. C'est légitime parce que les deux membres sont positifs (ce sont des valeurs absolues) et que la fonction carré conserve l'ordre sur les nombres positifs. Au passage, |A|^2 = A^2.
|2x-1| < |x+3| (2x-1)^2 < (x+3)^2
On ramène tout d'un côté :
[formule]
(2x-1)^2 - (x+3)^2 < 0
- Étape 5 : 👉 Et il ne faut surtout pas développer. L'expression est une différence de deux carrés — on la factorise directement avec a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), où a = 2x-1 et b = x+3 :
[(2x-1) - (x+3)][(2x-1) + (x+3)]
On simplifie chaque crochet :
(2x-1) - (x+3) = 2x - 1 - x - 3 = x - 4
(2x-1) + (x+3) = 2x - 1 + x + 3 = 3x + 2
[formule]
(x-4)(3x+2) < 0
- Étape 6 : On termine par un tableau de signes, comme dans les exercices précédents.
Racines : x = 4 et x = -2{3}. Les deux facteurs ont un coefficient de x positif.
| x | - | | -2{3} | | 4 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| x-4 | | - | | - | 0 | + | |
| 3x+2 | | - | 0 | + | | + | |
| produit | | + | 0 | - | 0 | + | |
On cherche le produit strictement négatif :
[formule]
Contrôle : x = 0 donne |-1| = 1 < |3| = 3 ✓, et x = 5 donne |9| = 9 < |8| = 8, ce qui est faux ✓
S = ] -2{3} \,;\, 4 [
- Étape 7 : L'erreur classique :
En c), développer les deux carrés puis chercher à factoriser le trinôme obtenu, 3x^2 - 10x - 8.
On se retrouve alors bloqué : en Seconde, aucune méthode ne permet de factoriser un tel trinôme (le discriminant n'arrive qu'en Première).
Or l'expression avant développement est une différence de carrés, donc factorisable en deux lignes. Développer, c'est perdre l'information qui rendait le problème faisable.
À retenir :
|A| > d deux zones à l'extérieur · |A| d une zone à l'intérieur.
|A| < |B| élever au carré, tout ramener d'un côté, et factoriser en différence de carrés sans développer.
👉 C'est le même réflexe que dans tout le chapitre 1 : regarder la forme de l'expression avant de la développer.