Problème de mise en équation (âges et mélanges)

Énoncé

Partie 1 – Problème d'âges : Marie a 8 ans de plus que son frère Lucas. Dans 5 ans, l'âge de Marie sera le double de l'âge de Lucas. Quels sont leurs âges actuels ? Partie 2 – Problème de mélange : On mélange du café à 12 €/kg avec du café à 8 €/kg pour obtenir 10 kg de mélange à 9{,}60 €/kg. Quelle quantité de chaque café faut-il ?

Indice : Pose des variables pour les inconnues, traduis chaque phrase en équation, puis résous le système.

Correction

1. Étape 1 : Deux problèmes de natures différentes, mais la même méthode : nommer, traduire, résoudre, revenir au concret. 👉 Le second introduit un type d'équation qu'il faut savoir écrire — l'équation de mélange : Une équation de mélange : La valeur totale se conserve : [formule] ⚠️ Elle porte sur des masses multipliées par des prix, jamais sur les prix seuls. Écrire 12 + 8 = 9{,}60 n'a aucun sens.
2. Étape 2 : Partie 1 — les âges. Soit x l'âge de Lucas aujourd'hui. Marie a 8 ans de plus, donc x + 8. Dans 5 ans : Lucas aura x + 5 ans, et Marie x + 8 + 5 = x + 13 ans. La condition « l'âge de Marie sera le double de celui de Lucas » donne : x + 13 = 2(x+5) x + 13 = 2x + 10 13 - 10 = 2x - x x = 3 Lucas a 3 ans et Marie a 11 ans. Vérification : dans 5 ans, Lucas aura 8 ans et Marie 16 ans, et 16 = 2 8 ✓

   Lucas : 3 ans ; Marie : 11 ans

3. Étape 3 : Partie 2 — le mélange. Soit a la masse (en kg) de café à 12 €/kg et b celle de café à 8 €/kg. Masse totale : a + b = 10 Valeur totale : 12a + 8b = 9{,}60 10 = 96 [formule]

   cases a + b = 10 12a + 8b = 96 cases

4. Étape 4 : Résolution par substitution. La première équation donne a = 10 - b (coefficient 1). On reporte : 12(10-b) + 8b = 96 120 - 12b + 8b = 96 -4b = -24 b = 6 puis a = 10 - 6 = 4. Il faut 4 kg de café à 12 €/kg et 6 kg de café à 8 €/kg. Vérification : 4 12 + 6 8 = 48 + 48 = 96 €, soit 96{10} = 9{,}60 €/kg ✓

   a = 4 kg ; b = 6 kg

5. Étape 5 : 👉 Un contrôle de bon sens qui vaut mieux que le calcul, et qu'on peut faire avant de résoudre : le prix du mélange, 9,60 €, est plus proche de 8 que de 12. Il doit donc y avoir plus de café bon marché que de café cher. C'est bien le cas : 6 kg contre 4 kg. Un résultat inverse — plus de café à 12 € — aurait signalé une erreur sans qu'il soit nécessaire de refaire quoi que ce soit.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire la seconde équation en prix unitaires : 12 + 8 = 9{,}60, ou 12a + 8b = 9{,}60. Une équation de mélange porte sur des valeurs totales, donc sur des masses multipliées par des prix. Le second membre est 9{,}60 10, pas 9{,}60. À retenir : Deux équations pour deux inconnues : l'une sur les quantités, l'autre sur les valeurs. 👉 Et le contrôle par proximité, gratuit et fiable : le prix du mélange penche du côté du produit le plus abondant.