Problème de mise en équation (âges et mélanges)

Énoncé

**Partie 1 – Problème d'âges :** Marie a 8 ans de plus que son frère Lucas. Dans 5 ans, l'âge de Marie sera le double de l'âge de Lucas. Quels sont leurs âges actuels ? **Partie 2 – Problème de mélange :** On mélange du café à 12 €/kg avec du café à 8 €/kg pour obtenir 10 kg de mélange à 9{,}60 €/kg. Quelle quantité de chaque café faut-il ?

Indice : Pose des variables pour les inconnues, traduis chaque phrase en équation, puis résous le système.

Correction

1. Étape 1 : **Partie 1 :** Soit x l'âge de Lucas. Marie a x + 8 ans. Dans 5 ans : Lucas aura x + 5 ans et Marie x + 13 ans.
2. Étape 2 : Condition : l'âge de Marie sera le double de celui de Lucas.

   x + 13 = 2(x + 5) x + 13 = 2x + 10 3 = x

3. Étape 3 : **Lucas a 3 ans et Marie a 11 ans.** Vérification : dans 5 ans, Lucas aura 8 ans et Marie 16 ans. 16 = 2 8 ✅.
4. Étape 4 : **Partie 2 :** Soit a la quantité de café à 12 €/kg et b celle à 8 €/kg.

   cases a + b = 10 12a + 8b = 9{,}60 10 = 96 cases

5. Étape 5 : Par substitution : a = 10 - b. On remplace dans la deuxième équation.

   12(10 - b) + 8b = 96 120 - 12b + 8b = 96 -4b = -24 b = 6

6. Étape 6 : Donc a = 10 - 6 = 4. **Il faut 4 kg de café à 12 €/kg et 6 kg de café à 8 €/kg.** Vérification : 4 12 + 6 8 = 48 + 48 = 96€ ✅.