Système de 2 équations à 2 inconnues (méthode par substitution)

Énoncé

Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution : a) cases x + 2y = 7 3x - y = 7 cases b) cases 2x - 3y = -1 x = 2y - 3 cases

Indice : Exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir de l'équation la plus simple, puis remplace dans l'autre équation.

Correction

1. Étape 1 : Deux systèmes à résoudre par substitution. La vraie question n'est pas *comment* substituer — c'est quelle inconnue isoler. Choisir quelle inconnue isoler : Celle dont le coefficient vaut 1 (ou -1). C'est la seule qui s'isole sans créer de fractions. 👉 Isoler une inconnue de coefficient 3 fonctionne aussi, mais fabrique des fractions dans tout le reste du calcul — et les fractions sont la première source d'erreurs. S'il n'existe aucun coefficient 1, la méthode par combinaison est généralement préférable.
2. Étape 2 : a) cases x + 2y = 7 3x - y = 7 cases Dans la première équation, x a un coefficient 1, donc c'est lui qu'on isole. x = 7 - 2y On reporte dans la seconde équation : 3(7 - 2y) - y = 7 21 - 6y - y = 7 -7y = -14 y = 2 Puis x = 7 - 2 2 = 3. [formule] Vérification dans les deux : 3 + 2 2 = 7 ✓ et 3 3 - 2 = 7 ✓

   S = \{(3 \,;\, 2)\}

3. Étape 3 : b) cases 2x - 3y = -1 x = 2y - 3 cases Ici l'inconnue x est déjà isolée dans la seconde équation : le travail est fait. On reporte dans la première : 2(2y-3) - 3y = -1 4y - 6 - 3y = -1 y = 5 Puis x = 2 5 - 3 = 7. [formule] Vérification : 2 7 - 3 5 = 14 - 15 = -1 ✓ et 7 = 2 5 - 3 ✓

   S = \{(7 \,;\, 5)\}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Reporter l'expression trouvée dans la même équation que celle dont on l'a tirée. En a), remplacer x par 7 - 2y dans la première équation donnerait (7-2y) + 2y = 7, soit 7 = 7 — une identité vraie mais totalement inutile, qui ne détermine rien. Il faut toujours reporter dans l'autre équation. À retenir : Isoler l'inconnue de coefficient 1, reporter dans l'autre équation, puis revenir. 👉 Et la règle de choix entre les deux méthodes : une inconnue déjà isolée (ou de coefficient 1) substitution ; des coefficients opposés ou faciles à rendre tels combinaison.