Inéquation produit (signe d'un produit de facteurs)

Énoncé

Résoudre les inéquations suivantes en construisant un tableau de signes : a) (2x - 6)(x + 4) > 0 b) (1 - x)(3x + 9) 0

Indice : Détermine les racines de chaque facteur, étudie le signe de chaque facteur, puis applique la règle des signes pour le produit.

Correction

1. Étape 1 : Deux inéquations produit. La construction du tableau est celle de l'exercice précédent — la difficulté est cette fois dans la lecture de l'ensemble solution. Lire un tableau de signes : inégalité stricte (> ou <) crochets ouverts aux racines ; inégalité large ( ou ) crochets fermés, car le produit s'y annule. 👉 Et quand deux zones conviennent, l'ensemble solution est une réunion, notée avec le symbole . Ce n'est pas un intervalle unique.
2. Étape 2 : a) (2x-6)(x+4) > 0 Racines : 2x - 6 = 0 x = 3, et x + 4 = 0 x = -4. Les deux facteurs ont un coefficient de x positif, donc chacun est négatif avant sa racine et positif après. | x | - | | -4 | | 3 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 2x-6 | | - | | - | 0 | + | | | x+4 | | - | 0 | + | | + | | | produit | | + | 0 | - | 0 | + | |
3. Étape 3 : On cherche les zones où le produit est strictement positif : les deux extrémités. [formule] Les crochets sont ouverts car l'inégalité est stricte : en -4 et en 3, le produit vaut 0, ce qui ne convient pas. Contrôle : x = 0 donne (-6)(4) = -24 < 0, et 0 n'est bien pas dans S ✓

   S = \, ]- \,;\, -4[ \; \; ]3 \,;\, +[

4. Étape 4 : b) (1-x)(3x+9) 0 Racines : 1 - x = 0 x = 1, et 3x + 9 = 0 x = -3. ⚠️ 1 - x a un coefficient de x négatif : il est positif avant 1, négatif après. Contrôle en x = 0 : 1 - 0 = 1 > 0 ✓ | x | - | | -3 | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 1-x | | + | | + | 0 | - | | | 3x+9 | | - | 0 | + | | + | | | produit | | - | 0 | + | 0 | - | | L'inégalité est large, donc les racines sont incluses : [formule]

   S = \, ]- \,;\, -3] \; \; [1 \,;\, +[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire l'ensemble solution comme un seul intervalle alors qu'il en faut deux. ]-\,;\,-4[ \,]3\,;\,+[ n'est pas ]-\,;\,3[, ni ]-4\,;\,+[ : ce sont deux morceaux séparés, et la zone entre -4 et 3 en est exclue. Le symbole est indispensable, et il se lit « ou ». À retenir : Type d'inégalité type de crochets. Deux zones réunion avec . Et du côté de , le crochet est toujours ouvert. 👉 Contrôle final gratuit : tester une valeur dans chaque zone du tableau. Trois tests, et une erreur de signe ne passe pas.