Équation avec fractions (mise au même dénominateur)

Énoncé

Résoudre les équations suivantes : a) 2{x - 1} = 5{x + 3} b) x + 2{3} - x - 1{4} = 2

Indice : Pour a), multiplie en croix (attention à la condition d'existence). Pour b), mets au même dénominateur (PPCM de 3 et 4 = 12).

Correction

1. Étape 1 : Nouveauté par rapport aux fractions du début du chapitre : ici x est au dénominateur. Une fraction dont le dénominateur s'annule n'existe pas, donc il faut commencer par écarter les valeurs interdites. Une équation avec x au dénominateur : 1. poser les conditions d'existence : chaque dénominateur doit être non nul ; 2. résoudre l'équation ; 3. vérifier que la solution respecte ces conditions. 👉 L'étape 3 n'est pas décorative : une solution qui annulerait un dénominateur devrait être rejetée, et l'ensemble des solutions pourrait alors être vide.
2. Étape 2 : a) 2{x-1} = 5{x+3} Conditions d'existence : x - 1 0 et x + 3 0, donc x 1 et x -3. On multiplie en croix — ce qui revient à multiplier les deux membres par (x-1)(x+3) : 2(x+3) = 5(x-1)

   2(x+3) = 5(x-1)

3. Étape 3 : On développe et on résout : 2x + 6 = 5x - 5 6 + 5 = 5x - 2x 11 = 3x x = 11{3} Vérification des conditions : 11{3} 3{,}67, qui est bien différent de 1 et de -3. La solution est donc valide. [formule] Contrôle numérique : 2{11{3}-1} = 2{8{3}} = 0{,}75 et 5{11{3}+3} = 5{20{3}} = 0{,}75 ✓

   S = \{11{3}\}

4. Étape 4 : b) x+2{3} - x-1{4} = 2 Ici x n'est pas au dénominateur : aucune condition d'existence à poser. On multiplie simplement par le PPCM de 3 et 4, qui est 12 : 4(x+2) - 3(x-1) = 24 ⚠️ Le signe « - » porte sur toute la parenthèse : -3(x-1) = -3x + 3. 4x + 8 - 3x + 3 = 24 x + 11 = 24 x = 13 Vérification : 15{3} - 12{4} = 5 - 3 = 2 ✓

   x = 13

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier les conditions d'existence quand x est au dénominateur. Si la résolution avait donné x = 1, il aurait fallu rejeter cette valeur et conclure S = — car 2{1-1} n'existe pas. Une solution trouvée n'est pas nécessairement une solution valide. À retenir : Conditions d'existence d'abord, vérification ensuite. 👉 Et savoir distinguer les deux situations : x au dénominateur conditions ; dénominateurs numériques simple multiplication par le PPCM, sans aucune précaution.