Système et problème concret

Énoncé

Un cinéma propose deux tarifs : - **Tarif A** : 5 € l'entrée - **Tarif B** : un abonnement de 15 € puis 3 € par entrée 1. Exprimer le coût total en fonction du nombre d'entrées x pour chaque tarif. 2. À partir de combien d'entrées le tarif B est-il plus avantageux ? 3. Un groupe de 4 amis va au cinéma. Ensemble ils ont payé 94 € : certains ont choisi le tarif A, d'autres le tarif B (avec 4 entrées chacun). Combien ont choisi chaque tarif ?

Indice : Pour la question 2, résous l'inéquation C_B < C_A. Pour la question 3, pose un système avec le nombre de personnes et le coût total.

Correction

1. Étape 1 : **1)** Coût du tarif A : C_A = 5x. Coût du tarif B : C_B = 15 + 3x.

   C_A = 5x et C_B = 15 + 3x

2. Étape 2 : **2)** On cherche quand C_B < C_A.

   15 + 3x < 5x 15 < 2x x > 7{,}5

3. Étape 3 : Comme x est un nombre entier d'entrées, le tarif B est plus avantageux **à partir de 8 entrées**.
4. Étape 4 : **3)** Soit a le nombre de personnes avec le tarif A et b avec le tarif B. Chacun fait 4 entrées.

   cases a + b = 4 5 4 a + (15 + 3 4) b = 94 cases

5. Étape 5 : On simplifie : coût tarif A par personne = 20€, coût tarif B par personne = 27€.

   cases a + b = 4 20a + 27b = 94 cases

6. Étape 6 : Par substitution : a = 4 - b, donc 20(4 - b) + 27b = 94.

   80 - 20b + 27b = 94 7b = 14

7. Étape 7 : On isole b : 7b = 14 donne b = 2, puis a = 4 - b = 2.
8. Étape 8 : Vérification — 2 personnes au tarif A : 2 20 = 40€.

   cases a = 2 b = 2 cases

9. Étape 9 : 2 personnes au tarif B : 2 27 = 54€.

   40 + 54 = 94

10. Étape 10 : **Conclusion :** 2 amis ont choisi le tarif A et 2 le tarif B, pour un total de 94€ ✅.