Système et problème concret

Énoncé

Un cinéma propose deux tarifs : - Tarif A : 5 € l'entrée - Tarif B : un abonnement de 15 € puis 3 € par entrée 1. Exprimer le coût total en fonction du nombre d'entrées x pour chaque tarif. 2. À partir de combien d'entrées le tarif B est-il plus avantageux ? 3. Un groupe de 4 amis va au cinéma. Ensemble ils ont payé 94 € : certains ont choisi le tarif A, d'autres le tarif B (avec 4 entrées chacun). Combien ont choisi chaque tarif ?

Indice : Pour la question 2, résous l'inéquation C_B < C_A. Pour la question 3, pose un système avec le nombre de personnes et le coût total.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions de natures très différentes — une modélisation, une inéquation, un système — mais un même préalable à chaque fois : écrire ce que représente chaque lettre. 👉 Et la question 2 réserve une subtilité qu'on ne rencontre que sur un problème concret : x est un nombre entier d'entrées. Une réponse du type « à partir de 7,5 entrées » n'aurait aucun sens. Toujours revenir au concret : Une inéquation donne un résultat mathématique (x > 7{,}5) ; le problème demande une réponse interprétable (« à partir de 8 entrées »). Les deux étapes sont notées.
2. Étape 2 : 1) Soit x le nombre d'entrées. Tarif A : chaque entrée coûte 5 €, donc C_A = 5x. Tarif B : un abonnement fixe de 15 €, puis 3 € par entrée, donc C_B = 15 + 3x. 👉 La différence de forme est instructive : C_A est proportionnel au nombre d'entrées, C_B ne l'est pas à cause du terme constant. C'est ce qui fait que l'un finit par dépasser l'autre.

   C_A = 5x ; C_B = 15 + 3x

3. Étape 3 : 2) Le tarif B est plus avantageux quand C_B < C_A : 15 + 3x < 5x 15 < 5x - 3x 15 < 2x x > 7{,}5 Comme x est un nombre entier d'entrées, le tarif B devient plus avantageux à partir de 8 entrées. Contrôle aux deux valeurs voisines : pour x = 7, C_A = 35 et C_B = 36 — A reste meilleur ; pour x = 8, C_A = 40 et C_B = 39 — B l'emporte ✓

   x 8

4. Étape 4 : 3) Soit a le nombre d'amis au tarif A et b ceux au tarif B. Ils sont 4 en tout, et chacun fait 4 entrées. Coût par personne : tarif A, 5 4 = 20 € ; tarif B, 15 + 3 4 = 27 €. [formule] Par substitution, a = 4 - b : 20(4-b) + 27b = 94 80 - 20b + 27b = 94 7b = 14 b = 2 donc a = 4 - 2 = 2.

   a = 2 ; b = 2

5. Étape 5 : Conclusion et vérification. 2 amis ont choisi le tarif A et 2 le tarif B. 2 20 = 40 € au tarif A, 2 27 = 54 € au tarif B, soit 40 + 54 = 94 € ✓ 👉 Remarquer que l'abonnement B est plus cher ici : avec seulement 4 entrées chacun, on est en dessous du seuil de 8 trouvé en question 2. Les deux réponses sont cohérentes entre elles.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre « à partir de 7,5 entrées » à la question 2. Le calcul est juste, la réponse ne l'est pas : on n'achète pas une demi-entrée. Un problème concret exige une réponse concrète, et c'est l'étape que les correcteurs regardent en premier. À retenir : Nommer, modéliser, résoudre, revenir au concret. 👉 Et vérifier la cohérence entre les questions : ici, la question 3 se situe sous le seuil trouvé en 2, ce qui explique que l'abonnement y soit désavantageux. Deux résultats qui se contredisent signalent une erreur.