Tableau de signes et inéquation

Énoncé

Résoudre l'inéquation : [formule] en construisant un tableau de signes.

Indice : Détermine les racines de chaque facteur, construis le tableau de signes, puis lis les intervalles où le produit est positif ou nul.

Correction

1. Étape 1 : Le signe d'un produit ne se devine pas : il se lit dans un tableau. Et la seule vraie difficulté est le signe d'un facteur dont le coefficient de x est négatif. Le tableau de signes, en trois temps : 1. trouver la racine de chaque facteur (la valeur qui l'annule) ; 2. donner le signe de chaque facteur : ax+b est du signe de a après sa racine ; 3. multiplier les signes, colonne par colonne. 👉 C'est la règle de l'étape 2 qu'on oublie. Ici 3 - 2x a un coefficient de x négatif, donc il est positif avant sa racine et négatif après — l'inverse du cas habituel.
2. Étape 2 : Les racines. x - 1 = 0 x = 1 3 - 2x = 0 2x = 3 x = 3{2} Les signes. x - 1 a un coefficient +1 : il est négatif avant 1, positif après. 3 - 2x a un coefficient -2 : il est positif avant 3{2}, négatif après. 👉 Contrôle immédiat en testant une valeur : pour x = 0, 3 - 0 = 3 > 0 ✓ — le facteur est bien positif à gauche.
3. Étape 3 : Le tableau. | x | - | | 1 | | 3{2} | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | x-1 | | - | 0 | + | | + | | | 3-2x | | + | | + | 0 | - | | | produit | | - | 0 | + | 0 | - | | On lit chaque colonne en multipliant les signes : (-)(+) = -, puis (+)(+) = +, puis (+)(-) = -.
4. Étape 4 : La lecture. On cherche (x-1)(3-2x) 0, donc les zones où le produit est positif ou nul. C'est la colonne du milieu, plus les deux racines où le produit s'annule : [formule] Les crochets sont fermés car l'inégalité est large () et le produit vaut 0 en x = 1 et x = 3{2}.

   S = [1 \,;\, 3{2}]

5. Étape 5 : L'erreur classique : Donner à 3 - 2x le signe « négatif puis positif » par automatisme, parce que c'est le cas de tous les facteurs du type x - a. Le contrôle est immédiat : tester une valeur simple dans le facteur. Pour x = 0, 3 - 2 0 = 3, qui est positif. Le facteur commence donc par +. Un test par facteur, et le tableau ne peut plus être à l'envers. À retenir : ax + b est du signe de a après sa racine, et du signe contraire avant. 👉 Et le contrôle qui ne coûte rien : tester une valeur dans chaque facteur avant de remplir le tableau. Dix secondes contre un tableau entièrement faux.