Résoudre une équation-produit

Énoncé

Résoudre les équations suivantes : a) (x - 3)(2x + 8) = 0 b) (4x + 1)^2 = 0 c) x^2 - 5x = 0

Indice : Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Pour c), factorise par x.

Correction

1. Étape 1 : Une équation où le membre de gauche est un produit et celui de droite zéro se résout par une règle unique, et c'est la seule méthode disponible en Seconde pour une équation du second degré. Un produit nul : [formule] 👉 Cette règle n'a pas d'équivalent pour un autre nombre : A B = 6 ne donne rien (A pourrait valoir 2 et B valoir 3, ou 1 et 6, ou n'importe quoi d'autre). C'est le zéro qui rend la règle vraie. ⚠️ Conséquence : il faut d'abord ramener tout d'un côté, puis factoriser — c'est ce que demande la question c).
2. Étape 2 : a) (x-3)(2x+8) = 0 Le produit est déjà écrit, et il vaut zéro. Donc l'un des deux facteurs est nul : x - 3 = 0 ou 2x + 8 = 0 x = 3 ou x = -4 [formule]

   S = \{-4 \,;\, 3\}

3. Étape 3 : b) (4x+1)^2 = 0 Un carré est un produit d'un facteur par lui-même : (4x+1)(4x+1) = 0. Les deux facteurs étant identiques, ils donnent la même solution. 4x + 1 = 0 x = -1{4} [formule] ⚠️ Il n'y a qu'une solution, pas deux. On dit qu'elle est *double*, mais l'ensemble des solutions ne contient qu'un élément.

   S = \{-1{4}\}

4. Étape 4 : c) x^2 - 5x = 0 Ce n'est pas encore un produit : il faut factoriser. Le facteur commun est x : x^2 - 5x = x(x-5) Puis on applique la règle : x(x-5) = 0 x = 0 ou x = 5 [formule]

   S = \{0 \,;\, 5\}

5. Étape 5 : L'erreur classique : En c), diviser les deux membres par x pour obtenir x - 5 = 0, donc x = 5. C'est faux, et le défaut est grave : on a le droit de diviser par un nombre non nul seulement — or x peut valoir 0, et c'est justement l'une des deux solutions. Diviser par x fait perdre la solution x = 0. Le remède est toujours le même : factoriser, jamais diviser par une expression contenant l'inconnue. À retenir : [formule] et cette règle vaut uniquement pour zéro. 👉 Marche à suivre : tout ramener d'un côté, factoriser, appliquer la règle. C'est la seule méthode de Seconde pour une équation du second degré — le discriminant n'arrive qu'en Première.