Système par combinaison

Énoncé

Résoudre le système par la méthode de combinaison : [formule]

Indice : Les coefficients de y sont déjà opposés (+4 et -4). Additionne les deux équations.

Correction

1. Étape 1 : La combinaison est la seconde méthode de résolution d'un système, et elle est souvent plus rapide que la substitution. La combinaison, en trois temps : 1. rendre opposés les coefficients d'une des deux inconnues (en multipliant une équation, ou les deux) ; 2. additionner les deux équations : cette inconnue disparaît ; 3. revenir en arrière pour calculer la seconde. 👉 Sur ce système, l'étape 1 est déjà faite : les coefficients de y sont +4 et -4, donc opposés. Il suffit d'additionner. Le réflexe de choix : coefficients déjà opposés (ou faciles à rendre tels) combinaison ; inconnue déjà isolée substitution.
2. Étape 2 : Combinaison. On additionne membre à membre les deux équations : (3x + 4y) + (2x - 4y) = 18 + (-8) Les termes en y s'éliminent puisque 4y - 4y = 0 : 5x = 10 x = 2

   x = 2

3. Étape 3 : Retour. On reporte x = 2 dans l'une des deux équations de départ — la première, par exemple : 3 2 + 4y = 18 6 + 4y = 18 4y = 12 y = 3 [formule]

   S = \{(2 \,;\, 3)\}

4. Étape 4 : Vérification dans les DEUX équations, car c'est le seul contrôle qui prouve qu'on n'a pas fait d'erreur de report : 3 2 + 4 3 = 6 + 12 = 18 ✓ 2 2 - 4 3 = 4 - 12 = -8 ✓ 👉 Ici le report a été fait dans la première équation : c'est donc la seconde qui constitue le vrai test.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Additionner les membres de gauche en oubliant d'additionner ceux de droite — ou n'additionner qu'un seul des deux seconds membres. Une addition de deux équations porte sur les quatre morceaux : 18 + (-8) = 10, et non 18. À retenir : Quand les coefficients d'une inconnue sont opposés, additionner ; quand ils sont égaux, soustraire. 👉 S'ils ne sont ni l'un ni l'autre, on multiplie une équation (ou les deux) pour les y ramener : par exemple 2 sur la première et 3 sur la seconde pour obtenir 6y et -6y.