Équations avec fractions

Énoncé

Résoudre les équations suivantes : a) x + 3{2} = 2x - 1{3} b) 3x{4} - x - 2{3} = 1

Indice : Multiplie les deux membres par le PPCM des dénominateurs pour éliminer les fractions.

Correction

1. Étape 1 : Des fractions dans une équation ne sont pas une difficulté supplémentaire : ce sont des fractions à faire disparaître, et un seul geste suffit. Supprimer les dénominateurs : Multiplier les deux membres par le PPCM des dénominateurs. Chaque fraction se simplifie alors, et il ne reste qu'une équation ordinaire. 👉 Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs. Prendre leur produit fonctionne aussi — c'est simplement moins économique.
2. Étape 2 : a) x+3{2} = 2x-1{3} Le PPCM de 2 et 3 est 6, donc on multiplie les deux membres par 6 : 6 x+3{2} = 6 2x-1{3} À gauche 6 2 = 3, à droite 6 3 = 2 : [formule]

   3(x+3) = 2(2x-1)

3. Étape 3 : On développe et on résout : 3x + 9 = 4x - 2 9 + 2 = 4x - 3x x = 11 Vérification, indispensable avec des fractions : 11+3{2} = 14{2} = 7 et 2 11 - 1{3} = 21{3} = 7 ✓

   x = 11

4. Étape 4 : b) 3x{4} - x-2{3} = 1 Le PPCM de 4 et 3 est 12. On multiplie les trois termes, y compris le 1 du second membre : 12 3x{4} - 12 x-2{3} = 12 1 9x - 4(x-2) = 12 ⚠️ Le signe « - » devant la fraction porte sur toute la parenthèse : -4(x-2) = -4x + 8. 9x - 4x + 8 = 12 5x = 4 x = 4{5}

   x = 4{5}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de multiplier le membre qui n'a pas de fraction. En b), laisser le second membre à 1 au lieu de 12 fausse toute la suite. Multiplier une équation par 12 veut dire multiplier tout, des deux côtés, sans exception. À retenir : Multiplier par le PPCM, développer, résoudre — et vérifier, ce qui est d'autant plus utile ici que les erreurs de signe sont fréquentes. 👉 Une fraction dont le dénominateur contient x demande en plus des conditions d'existence : c'est un cas différent, traité plus loin dans le chapitre.