Résoudre un système par substitution

Énoncé

Résoudre le système par la méthode de substitution : [formule]

Indice : La première équation donne directement y en fonction de x. Remplace dans la deuxième.

Correction

1. Étape 1 : Un système, c'est deux équations qui doivent être vraies en même temps. La solution n'est donc pas un nombre mais un couple (x\,;y). La substitution, en trois temps : 1. isoler une inconnue dans l'une des deux équations ; 2. remplacer cette inconnue dans l'autre équation — on obtient alors une équation à une seule inconnue ; 3. revenir en arrière pour calculer la seconde. 👉 Ici l'étape 1 est déjà faite : la première équation donne y = 2x + 1. C'est ce qui rend la substitution évidente sur ce système — dès qu'une inconnue est isolée, c'est cette méthode qu'il faut choisir.
2. Étape 2 : Substitution. On remplace y par 2x + 1 dans la seconde équation : 3x + (2x+1)_{y} = 11 3x + 2x + 1 = 11 5x + 1 = 11 5x = 10 x = 2 Il ne reste qu'une seule inconnue, et l'équation se résout comme au premier exercice.

   x = 2

3. Étape 3 : Retour. On reporte x = 2 dans l'équation où y était isolé : y = 2 2 + 1 = 5 [formule] ⚠️ La solution s'écrit comme un couple, entre parenthèses et dans l'ordre (x\,;y). Écrire « x = 2 et y = 5 » est juste, mais l'énoncé demande un ensemble de solutions.

   S = \{(2 \,;\, 5)\}

4. Étape 4 : Vérification — et elle est indispensable ici. Un couple doit satisfaire les deux équations, donc il faut le tester dans les deux : première équation : y = 2 2 + 1 = 5 ✓ seconde équation : 3 2 + 5 = 6 + 5 = 11 ✓ 👉 Tester une seule des deux ne prouve rien : c'est précisément là que se cache l'erreur si l'on s'est trompé de report.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Reporter x dans la même équation que celle qui a servi à substituer, au lieu de celle où l'inconnue était isolée — ou pire, s'arrêter après avoir trouvé x. Un système à deux inconnues attend deux valeurs. Une réponse qui n'en donne qu'une est incomplète, quelle que soit sa justesse. À retenir : Substitution en trois temps : isoler, remplacer, revenir. 👉 Elle est le bon choix dès qu'une inconnue est déjà isolée, ou facile à isoler (coefficient 1). Sinon, la méthode par combinaison est souvent plus rapide — c'est l'objet de l'exercice suivant.