Équations avec parenthèses

Énoncé

Résoudre les équations suivantes : a) 2(x + 4) = 14 b) 3(2x - 1) = 5(x + 2)

Indice : Commence par développer les parenthèses, puis résous comme une équation classique.

Correction

1. Étape 1 : Une seule difficulté nouvelle par rapport à l'exercice précédent : les parenthèses. Il faut les développer avant de pouvoir isoler x. La distributivité : [formule] Le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme à l'intérieur. 👉 Le mot « chaque » est ce qui compte : oublier un terme est l'erreur numéro un de tout le collège et du début du lycée.
2. Étape 2 : a) 2(x+4) = 14 On développe : 2 x + 2 4 = 2x + 8. 2x + 8 = 14 2x = 6 x = 3 ℹ️ On aurait aussi pu diviser d'emblée les deux membres par 2 : x + 4 = 7, donc x = 3. Plus rapide quand le facteur divise proprement le second membre. Contrôle : 2(3+4) = 2 7 = 14 ✓

   x = 3

3. Étape 3 : b) 3(2x-1) = 5(x+2) On développe chaque membre : 3 2x - 3 1 = 6x - 3 et 5 x + 5 2 = 5x + 10 [formule]

   6x - 3 = 5x + 10

4. Étape 4 : On regroupe les x d'un côté et les constantes de l'autre, en soustrayant 5x et en ajoutant 3 aux deux membres : 6x - 5x = 10 + 3 soit x = 13 Contrôle : 3(2 13 - 1) = 3 25 = 75 et 5(13 + 2) = 5 15 = 75 ✓

   x = 13

5. Étape 5 : L'erreur classique : Ne multiplier que le premier terme de la parenthèse : écrire 3(2x-1) = 6x - 1 au lieu de 6x - 3. Et son cousin, plus vicieux : quand le facteur est négatif, oublier de changer le signe du second terme. -2(x - 5) vaut -2x + 10, et non -2x - 10. À retenir : Développer chaque membre entièrement, puis regrouper les x d'un côté et les nombres de l'autre. 👉 Et le contrôle final en remplaçant x par sa valeur, dans l'équation de départ — pas dans une ligne intermédiaire, qui pourrait déjà contenir l'erreur.