Résoudre des inéquations simples

Énoncé

Résoudre les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle : a) 2x - 3 > 5 b) -4x + 8 0 c) 5x + 1 < 3x + 7

Indice : Attention au sens de l'inégalité quand tu divises par un nombre négatif !

Correction

1. Étape 1 : Une inéquation se résout exactement comme une équation, à une exception près — mais cette exception change tout. La seule différence avec une équation : Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif RENVERSE le sens de l'inégalité. [formule] 👉 Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens. Multiplier ou diviser par un positif non plus. C'est uniquement le passage par un négatif qui retourne l'inégalité. Et la réponse doit être donnée sous forme d'intervalle, ce qui demande de traduire correctement les crochets.
2. Étape 2 : a) 2x - 3 > 5 On ajoute 3 : 2x > 8. On divise par 2, qui est positif, donc le sens ne change pas : x > 4. [formule] Le crochet est ouvert en 4 car l'inégalité est stricte, et toujours ouvert du côté de + — qui n'est pas un nombre et ne peut donc jamais être atteint.

   S = \, ]4 \,;\, +[

3. Étape 3 : b) -4x + 8 0 On soustrait 8 : -4x -8. On divise par -4, qui est négatif : le sens change. [formule] Le crochet est fermé en 2, car l'inégalité est large ( devenu ). Contrôle : pour x = 2, -4 2 + 8 = 0 0 ✓ ; pour x = 0, 8 0 est faux, et 0 n'est pas dans S ✓

   S = [2 \,;\, +[

4. Étape 4 : c) 5x + 1 < 3x + 7 Des x des deux côtés : on regroupe, en soustrayant 3x et 1 aux deux membres. 5x - 3x < 7 - 1 soit 2x < 6 donc x < 3 [formule] Ici on n'a divisé que par 2, positif : aucun changement de sens.

   S = \, ]- \,;\, 3[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de renverser le sens en divisant par un négatif. En b), on trouverait x 2 au lieu de x 2 — soit exactement le complémentaire de la bonne réponse. Le contrôle qui l'attrape en dix secondes : tester une valeur. Prendre x = 0 dans -4x + 8 0 donne 8 0, qui est faux — donc 0 ne doit pas être dans S. Or S = ]- ; 2] le contiendrait. À retenir : Le sens ne change que par multiplication ou division par un négatif. 👉 Et deux règles de crochets : inégalité stricte crochet ouvert ; du côté de , toujours ouvert.