Rejoindre une route au plus court

Énoncé

Un randonneur se trouve au point R(-1 ; -3) d'un repère orthonormé dont l'unité est le kilomètre. Une route rectiligne passe par le village V(0 ; 4) et a pour vecteur directeur u⃗(3 ; -4). Le randonneur, en terrain plat et dégagé, veut rejoindre la route par le chemin le plus court. a) Expliquer pourquoi le point H qu'il doit viser est le projeté orthogonal de R sur la route. b) Un point M de la route vérifie VM⃗ = tu⃗ pour un réel t. Exprimer les coordonnées de M, puis celles de RM⃗, en fonction de t. c) Déterminer t pour que RM⃗ soit orthogonal à u⃗, puis les coordonnées de H. d) Quelle distance le randonneur parcourt-il jusqu'à H ? Combien de kilomètres économise-t-il par rapport au trajet en ligne droite jusqu'au village ?

Indice : Pour c), calcule RM⃗ · u⃗ en fonction de t : c'est une expression du premier degré.

Correction

1. Étape 1 : Le chemin le plus court d'un point à une droite est la perpendiculaire : il aboutit au projeté orthogonal du point. Ici la route n'est pas donnée par une équation, mais par un point et un vecteur directeur. Projeté sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur : 1. Écrire un point quelconque M de la droite à l'aide d'un paramètre : VM⃗ = tu⃗. 2. Exprimer que RM⃗ est orthogonal à u⃗ : RM⃗ · u⃗ = 0, une équation en t. 3. La valeur de t trouvée donne le projeté H.
2. Étape 2 : a) Soit H le projeté orthogonal de R sur la route, et M un point quelconque de la route. Le triangle RHM est rectangle en H, donc d'après le théorème de Pythagore : RM² = RH² + HM² ≥ RH² Ainsi RM ≥ RH, avec égalité seulement si M = H : H est le point de la route le plus proche du randonneur, et le chemin le plus court est le segment [RH].
3. Étape 3 : b) De VM⃗ = tu⃗ avec V(0 ; 4) et u⃗(3 ; -4) : M (3t ; 4 - 4t) Puis, avec R(-1 ; -3) : RM⃗ (3t + 1 ; 4 - 4t + 3) = RM⃗ (3t + 1 ; 7 - 4t)

   RM⃗ (3t + 1 ; 7 - 4t)

4. Étape 4 : c) On calcule le produit scalaire en coordonnées : RM⃗ · u⃗ = 3(3t + 1) + (-4)(7 - 4t) = 9t + 3 - 28 + 16t = 25t - 25 Il est nul si et seulement si t = 1. Le projeté est donc le point de paramètre 1 : H (3 × 1 ; 4 - 4 × 1) = H (3 ; 0) Contrôle : RH⃗ (4 ; 3), et RH⃗ · u⃗ = 12 - 12 = 0 ✓

   t = 1 H (3 ; 0)

5. Étape 5 : d) Jusqu'à H : RH = √(4² + 3²) = √(25) = 5 km. Jusqu'au village : RV⃗ (1 ; 7), donc RV = √(1 + 49) = √(50) = 5√(2) ≈ 7,07 km. L'économie vaut 5√(2) - 5 ≈ 2,07 km, soit environ 2 km. Contrôle : RV² = RH² + HV², avec HV⃗(-3 ; 4) et HV² = 25 : 50 = 25 + 25 ✓ Ce résultat vaut dans le modèle de l'énoncé — terrain plat et sans obstacle ; sur le terrain, le relief peut rendre la ligne droite plus longue à parcourir.

   RH = 5 km

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire la condition avec le vecteur issu du village : VM⃗ · u⃗ = 25t = 0 donne t = 0, c'est-à-dire le village lui-même. L'orthogonalité porte sur le vecteur qui part du point à projeter, ici R. À retenir : Quand une droite est donnée par un point et un vecteur directeur, écris ses points VM⃗ = tu⃗ : le projeté de R est le point M pour lequel RM⃗ · u⃗ = 0. L'équation obtenue est toujours du premier degré en t.