Pied d'une hauteur et aire d'un triangle

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(-2 ; 0), B(7 ; 3) et C(-1 ; 7). a) Montrer que la droite (AB) a pour équation x - 3y + 2 = 0. b) Déterminer les coordonnées du point H, pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC, c'est-à-dire du projeté orthogonal de C sur (AB). c) Calculer les longueurs AB et CH. d) En déduire l'aire du triangle ABC.

Indice : Un vecteur directeur de (AB) est un vecteur normal de la hauteur issue de C.

Correction

1. Étape 1 : L'aire d'un triangle vaut 1/2 × base × hauteur. Avec la base [AB], la hauteur est la longueur CH, où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) : c'est la distance de C à (AB). Aire d'un triangle en repère : 1. Écrire une équation de la droite qui porte la base. 2. Déterminer le pied H de la hauteur : intersection de cette droite et de la perpendiculaire passant par le sommet opposé. 3. Calculer la base et la hauteur, puis l'aire.
2. Étape 2 : a) L'équation x - 3y + 2 = 0 est celle d'une droite, puisque les coefficients de x et de y ne sont pas tous les deux nuls. On vérifie qu'elle passe par A et par B : A(-2 ; 0) : -2 - 3 × 0 + 2 = 0 ✓ B(7 ; 3) : 7 - 3 × 3 + 2 = 0 ✓ Comme par deux points distincts ne passe qu'une seule droite, c'est bien la droite (AB).
3. Étape 3 : b) Un vecteur directeur de (AB) est u⃗(3 ; 1) — lu sur l'équation, (-b ; a) = (3 ; 1), ou tiré de AB⃗(9 ; 3) = 3u⃗. La hauteur issue de C est perpendiculaire à (AB), donc u⃗ en est un vecteur normal. Elle passe par C(-1 ; 7) : 3(x + 1) + 1 × (y - 7) = 0 ⟺ 3x + y - 4 = 0 Contrôle avec C : -3 + 7 - 4 = 0 ✓
4. Étape 4 : Le point H est sur les deux droites : x - 3y + 2 = 0 | 3x + y - 4 = 0 De la seconde équation : y = 4 - 3x. On remplace dans la première : x - 3(4 - 3x) + 2 = 0 ⟺ 10x - 10 = 0 ⟺ x = 1, puis y = 4 - 3 = 1. Contrôles : H est sur (AB), car 1 - 3 + 2 = 0 ; et CH⃗ (2 ; -6) vérifie CH⃗ · u⃗ = 6 - 6 = 0.

   H (1 ; 1)

5. Étape 5 : c) Avec AB⃗(9 ; 3) et CH⃗(2 ; -6) : AB = √(81 + 9) = √(90) = 3√(10) CH = √(4 + 36) = √(40) = 2√(10)

   AB = 3√(10) CH = 2√(10)

6. Étape 6 : d) L'aire vaut : A = 1/2 × AB × CH = 1/2 × 3√(10) × 2√(10) = 1/2 × 6 × 10 = 30 Contrôle par une autre méthode. Le rectangle de côtés parallèles aux axes qui contient le triangle va de x = -2 à x = 7 et de y = 0 à y = 7 : son aire vaut 9 × 7 = 63. On lui retire les trois triangles rectangles qui entourent ABC, d'aires (9 × 3)/2 = 13,5, (8 × 4)/2 = 16 et (1 × 7)/2 = 3,5 : il reste 63 - 33 = 30 ✓

   A = 30

7. Étape 7 : L'erreur classique : Prendre le milieu de [AB], (5/2 ; 3/2), pour pied de la hauteur. Le pied de la hauteur n'est le milieu que si le triangle est isocèle en C ; ici CA = √(50) et CB = √(80). Autre confusion : prendre un côté, CA ou CB, pour la hauteur — un côté oblique est toujours plus long que la hauteur. À retenir : La hauteur issue d'un sommet est la distance de ce sommet à la droite qui porte le côté opposé : on la calcule par le projeté orthogonal. Un contrôle gratuit : CH⃗ doit être orthogonal à AB⃗.