Distance d'un point à une droite par le projeté

Énoncé

On considère la droite D d'équation réduite y = 2x + 1 et le point A(5 ; 1). a) Donner une équation cartésienne de D, puis un vecteur normal n⃗ à D. b) Le projeté orthogonal H de A sur D est sur la droite passant par A et de vecteur directeur n⃗ : il existe donc un réel k tel que AH⃗ = kn⃗. Déterminer k, puis les coordonnées de H. c) En déduire la distance du point A à la droite D. d) Le point B(0 ; 1) appartient à D. Comparer la longueur AB à la distance trouvée en c), et expliquer.

Indice : Écris les coordonnées de H en fonction de k, puis exprime que H vérifie l'équation de D.

Correction

1. Étape 1 : La distance d'un point à une droite se définit par le projeté orthogonal. Distance d'un point à une droite : 1. Déterminer le projeté orthogonal H de A sur D. 2. Calculer la longueur AH : c'est la distance de A à D. Ici, le projeté s'obtient sans écrire de seconde droite : (AH) est perpendiculaire à D, donc AH⃗ est colinéaire à un vecteur normal de D. Une seule inconnue, k, suffit à décrire H.
2. Étape 2 : a) On ramène tout d'un même côté : y = 2x + 1 ⟺ 2x - y + 1 = 0 Le vecteur normal se lit sur les coefficients de x et de y, avec leurs signes : n⃗ (2 ; -1). ⚠️ Le coefficient de y vaut -1, et non 1 : c'est le piège de l'équation réduite.

   2x - y + 1 = 0 n⃗ (2 ; -1)

3. Étape 3 : b) De AH⃗ = kn⃗, on tire les coordonnées de H en fonction de k : H (5 + 2k ; 1 - k) Le point H est sur D, donc ses coordonnées vérifient 2x - y + 1 = 0 : 2(5 + 2k) - (1 - k) + 1 = 0 10 + 4k - 1 + k + 1 = 0 5k + 10 = 0, donc k = -2. D'où H (5 - 4 ; 1 + 2) = H (1 ; 3). Contrôle sur l'équation réduite : 2 × 1 + 1 = 3 ✓

   k = -2 H (1 ; 3)

4. Étape 4 : c) On a AH⃗ (1 - 5 ; 3 - 1) = AH⃗ (-4 ; 2), qui vaut bien -2n⃗. La distance cherchée est donc : AH = √((-4)² + 2²) = √(20) = 2√(5) ≈ 4,47 Autre calcul, plus court : AH = |k| × ‖n⃗‖ = 2 × √(5).

   d(A, D) = AH = 2√(5)

5. Étape 5 : d) AB⃗ (-5 ; 0), donc AB = 5. On compare les carrés : AB² = 25 et AH² = 20, donc AB > AH. C'est le cas pour tout point de D autre que H : le triangle AHB est rectangle en H, donc d'après le théorème de Pythagore, AB² = AH² + HB². Ici HB⃗ (-1 ; -2) et HB² = 5 : on retrouve 25 = 20 + 5 ✓. Comme HB² > 0, AB est plus grande que AH : le projeté est le point de la droite le plus proche de A.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Lire n⃗(2 ; 1) sur y = 2x + 1, en oubliant le signe de -y. Le calcul donne alors 3k + 10 = 0, k = -10/3 et H(-5/3 ; -7/3) : un point qui est bien sur D, mais qui n'est pas le projeté, puisque AH⃗ n'est pas perpendiculaire à D. Autre erreur : donner AB = 5 pour la distance, alors que B n'est qu'un point quelconque de la droite. À retenir : La distance d'un point à une droite est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal. Pour trouver H, écris AH⃗ = kn⃗ et impose H ∈ D : une équation du premier degré. Contrôle d'ordre de grandeur : la distance est toujours inférieure ou égale à la distance de A à n'importe quel point de la droite.