Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère la droite D d'équation x + 2y - 4 = 0 et le point A(4 ; 5). a) Donner un vecteur directeur u⃗ de D. b) Déterminer une équation de la droite Δ passant par A et perpendiculaire à D. c) En déduire les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur D.

Indice : Δ est perpendiculaire à D : un vecteur directeur de D est donc un vecteur normal à Δ. Le point H est sur les deux droites.

Correction

1. Étape 1 : Le projeté orthogonal H de A sur D est le pied de la perpendiculaire menée de A à D : c'est le point de D tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à D. L'énoncé découpe la méthode la plus directe. Projeté orthogonal par la perpendiculaire : 1. Lire un vecteur directeur u⃗ de D. 2. Écrire la droite Δ passant par A et de vecteur normal u⃗ : elle est perpendiculaire à D. 3. H est sur D et sur Δ : on résout le système de leurs deux équations. 4. Contrôler que H ∈ D et que AH⃗ · u⃗ = 0.
2. Étape 2 : a) Pour une équation ax + by + c = 0, le vecteur u⃗(-b ; a) est un vecteur directeur. Ici a = 1 et b = 2, donc : u⃗ (-2 ; 1) Contrôle : le vecteur normal n⃗(1 ; 2) lui est bien orthogonal, car n⃗ · u⃗ = 1 × (-2) + 2 × 1 = 0.

   u⃗ (-2 ; 1)

3. Étape 3 : b) Δ est perpendiculaire à D, donc le vecteur u⃗(-2 ; 1), qui longe D, traverse Δ à angle droit : c'est un vecteur normal à Δ. Comme Δ passe par A(4 ; 5) : -2(x - 4) + 1 × (y - 5) = 0 -2x + 8 + y - 5 = 0 -2x + y + 3 = 0 Contrôle avec A : -2 × 4 + 5 + 3 = 0.

   Δ : -2x + y + 3 = 0

4. Étape 4 : c) Le point H appartient aux deux droites, donc ses coordonnées vérifient le système : x + 2y - 4 = 0 | -2x + y + 3 = 0 De la seconde équation, on tire y = 2x - 3. On remplace dans la première : x + 2(2x - 3) - 4 = 0 ⟺ 5x - 10 = 0 ⟺ x = 2 puis y = 2 × 2 - 3 = 1.

   H (2 ; 1)

5. Étape 5 : Contrôle, indépendant de la méthode employée. H est sur D : 2 + 2 × 1 - 4 = 0 ✓ (AH) est perpendiculaire à D : AH⃗ (2 - 4 ; 1 - 5) = AH⃗ (-2 ; -4), et AH⃗ · u⃗ = (-2) × (-2) + (-4) × 1 = 4 - 4 = 0 ✓ Sur la figure, P(4 ; 0) est un autre point de D : l'angle en H est droit. Au passage, AH = √(4 + 16) = √(20) = 2√(5) ≈ 4,47 : c'est la distance de A à D, la plus courte distance de A à un point de la droite.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Prendre le vecteur normal de D, (1 ; 2), comme vecteur normal de Δ. On obtient (x - 4) + 2(y - 5) = 0, soit x + 2y - 14 = 0 : une droite parallèle à D, qui ne la coupe jamais. Le système n'a alors aucune solution — c'est le signal qu'on a interverti les rôles des deux vecteurs. À retenir : Le projeté se trouve à l'intersection de D et de la perpendiculaire passant par A, et un vecteur directeur de l'une est normal à l'autre. Termine toujours par les deux contrôles : H ∈ D et AH⃗ · u⃗ = 0. Le premier seul ne suffit pas, puisque n'importe quel point de D le passe.