Problème complet : lieu géométrique

Énoncé

Soit A(1 ; 0) et B(5 ; 0). On cherche l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que MA^2 + MB^2 = 26. a) Exprimer MA^2 et MB^2 en fonction de x et y. b) Montrer que l'ensemble cherché est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. c) Ce cercle passe-t-il par l'origine ?

Indice : Développe MA^2 = (x-1)^2 + y^2 et MB^2 = (x-5)^2 + y^2, puis simplifie la somme.

Correction

1. Étape 1 : **a)** MA^2 = (x-1)^2 + y^2 et MB^2 = (x-5)^2 + y^2.
2. Étape 2 : **b)** MA^2 + MB^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + x^2 - 10x + 25 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 12x + 26. Condition : 2x^2 + 2y^2 - 12x + 26 = 26 x^2 + y^2 - 6x = 0.
3. Étape 3 : (x - 3)^2 + y^2 = 9. C'est le cercle de centre I(3 ; 0) (milieu de [AB]) et de rayon r = 3.

   Centre I(3 ; 0), rayon r = 3.

4. Étape 4 : **c)** (0-3)^2 + 0^2 = 9 = 3^2. Oui, l'origine O(0 ; 0) appartient au cercle.