Problème complet : lieu géométrique

Énoncé

Soit A(1 ; 0) et B(5 ; 0). On cherche l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que MA^2 + MB^2 = 26. a) Exprimer MA^2 et MB^2 en fonction de x et y. b) Montrer que l'ensemble cherché est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. c) Ce cercle passe-t-il par l'origine ?

Indice : Développe MA^2 = (x-1)^2 + y^2 et MB^2 = (x-5)^2 + y^2, puis simplifie la somme.

Correction

1. Étape 1 : Un ensemble de points défini par une condition sur des distances au carré. La méthode est celle des lieux géométriques : prendre un point quelconque, traduire, développer, reconnaître. Déterminer un lieu géométrique : 1. Poser M(x\,;\,y) quelconque et exprimer la condition en fonction de x et y. 2. Développer et regrouper. 3. Compléter les carrés pour reconnaître une forme connue. 👉 On peut même prévoir la réponse. Le théorème de la médiane affirme que pour I milieu de [AB] : [formule] La condition MA^2 + MB^2 = 26 revient donc à fixer MI, c'est-à-dire à dire que M est à distance constante de I : ce sera un cercle centré au milieu de [AB]. Le calcul qui suit ne fera que le confirmer.
2. Étape 2 : a) On exprime les deux carrés de distances, avec A(1\,;\,0) et B(5\,;\,0) : MA^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2 MB^2 = (x - 5)^2 + y^2 Les ordonnées de A et B étant nulles, le terme en y est le même dans les deux.

   MA^2 = (x-1)^2 + y^2 MB^2 = (x-5)^2 + y^2

3. Étape 3 : b) On développe et l'on additionne : (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 (x-5)^2 = x^2 - 10x + 25 MA^2 + MB^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + x^2 - 10x + 25 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 12x + 26
4. Étape 4 : On écrit la condition de l'énoncé : 2x^2 + 2y^2 - 12x + 26 = 26 Les deux 26 se simplifient — un allègement qui n'est pas un hasard, l'énoncé ayant choisi cette valeur pour cela : 2x^2 + 2y^2 - 12x = 0 On divise par 2 : x^2 + y^2 - 6x = 0
5. Étape 5 : On complète le carré en x. Moitié de -6 : -3, son carré 9, qu'on ajoute des deux côtés : (x^2 - 6x + 9) + y^2 = 9 (x - 3)^2 + y^2 = 9 Le second membre est positif, donc c'est bien un cercle : Centre I(3\,;\,0) et rayon r = 9 = 3. 👉 Et le centre est exactement le milieu de [AB] — (1+5{2}\,;\,0+0{2}) = (3\,;\,0) — comme le théorème de la médiane l'annonçait. Vérifions même le rayon par ce théorème : AB = 4, donc 2\,MI^2 + 16{2} = 26, d'où MI^2 = 9 et MI = 3 ✓

   I(3\,;\,0) r = 3

6. Étape 6 : c) On teste l'origine O(0\,;\,0) dans l'équation du cercle : (0 - 3)^2 + 0^2 = 9 On obtient bien 9, le second membre. Donc oui, le cercle passe par l'origine. C'était prévisible : le centre est en (3\,;\,0), sur l'axe des abscisses, et le rayon vaut 3. Le cercle coupe donc cet axe en x = 0 et x = 6 — l'origine en fait partie.

   O ce cercle

7. Étape 7 : Une remarque qui vaut d'être faite, parce qu'elle surprend : les points A et B sont à l'INTÉRIEUR du cercle, pas dessus. Leur distance au centre I(3\,;\,0) vaut 2 dans les deux cas, alors que le rayon vaut 3. 👉 Ce n'est pas une anomalie, c'est le sens de la condition. Le lieu cherché n'est pas « les points à distance donnée de A » ni « de B », mais les points dont la somme des carrés des distances aux deux est constante. Rien n'oblige A et B à y figurer — vérifions d'ailleurs sur A : AA^2 + AB^2 = 0 + 16 = 16 26 A ne vérifie effectivement pas la condition.
8. Étape 8 : L'erreur classique : Écrire MA = (x-1)^2 + y^2 puis élever au carré à la fin, en traînant des racines dans tout le calcul. L'énoncé demande MA^2 : la racine ne doit jamais apparaître. C'est une source d'erreurs pure, sur un exercice qui n'en demande aucune. À retenir : Deux réflexes sur les lieux géométriques. Repère d'abord si l'énoncé parle de distances ou de leurs carrés — les seconds se manipulent sans racines. Et quand des points A et B apparaissent symétriquement dans la condition, pense au milieu de [AB] : c'est très souvent le centre de la figure obtenue, et le savoir d'avance transforme le calcul en vérification.