Tangente à un cercle

Énoncé

Soit C le cercle d'équation (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 20. a) Vérifier que A(3 ; 5) appartient à C. b) Déterminer l'équation de la tangente T à C en A. c) Vérifier par le calcul que T ne coupe C qu'en A.

Indice : La tangente en A est perpendiculaire au rayon [ A], donc A est vecteur normal de la tangente.

Correction

1. Étape 1 : **a)** (3+1)^2 + (5-3)^2 = 16 + 4 = 20. Oui, A C.
2. Étape 2 : **b)** (-1 ; 3). A(4 ; 2) est vecteur normal de T.
3. Étape 3 : T : 4(x - 3) + 2(y - 5) = 0 4x + 2y - 22 = 0 2x + y - 11 = 0.
4. Étape 4 : **c)** Substitution de y = -2x + 11 dans (x+1)^2 + (y-3)^2 = 20 : (x+1)^2 + (-2x+8)^2 = 20 x^2 + 2x + 1 + 4x^2 - 32x + 64 = 20 5x^2 - 30x + 45 = 0 x^2 - 6x + 9 = 0 (x-3)^2 = 0. Solution double x = 3 : T est bien tangente à C en A.