Tangente à un cercle

Énoncé

Soit C le cercle d'équation (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 20. a) Vérifier que A(3 ; 5) appartient à C. b) Déterminer l'équation de la tangente T à C en A. c) Vérifier par le calcul que T ne coupe C qu'en A.

Indice : La tangente en A est perpendiculaire au rayon [ A], donc A est vecteur normal de la tangente.

Correction

1. Étape 1 : Même construction qu'à l'exercice précédent, mais l'énoncé ajoute une question qui en éclaire toute la théorie : vérifier par le calcul que la tangente ne touche le cercle qu'en un point. Tangente et discriminant : La tangente en A est perpendiculaire au rayon [ A] : A en est un vecteur normal. Et algébriquement, substituer une droite dans un cercle donne une équation du second degré dont le discriminant dit tout : [formule] 👉 C'est le lien à retenir de cet exercice : la tangence géométrique se traduit par une racine double. Une droite tangente touche le cercle « deux fois au même endroit », et c'est exactement ce que dit = 0.
2. Étape 2 : a) L'équation (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 20 donne le centre par les valeurs qui annulent les parenthèses : (-1\,;\,3), et r^2 = 20. On vérifie que A(3\,;\,5) y appartient : (3 + 1)^2 + (5 - 3)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 ✓ Donc A C.

   A C

3. Étape 3 : b) On calcule le vecteur A, normal de la tangente : A\,(3 - (-1)\,;\,5 - 3) = A\,(4\,;\,2) L'équation de T, passant par A(3\,;\,5) : 4\,(x - 3) + 2\,(y - 5) = 0 4x - 12 + 2y - 10 = 0 4x + 2y - 22 = 0 Tous les coefficients sont pairs, on simplifie par 2 : 2x + y - 11 = 0

   T : 2x + y - 11 = 0

4. Étape 4 : c) On substitue la tangente dans le cercle. D'abord isoler y : y = -2x + 11. Dans (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 20, le terme y - 3 devient -2x + 11 - 3 = -2x + 8 : (x + 1)^2 + (-2x + 8)^2 = 20 On développe les deux carrés : (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 (-2x+8)^2 = 4x^2 - 32x + 64
5. Étape 5 : On additionne et l'on ramène tout à gauche : x^2 + 2x + 1 + 4x^2 - 32x + 64 = 20 5x^2 - 30x + 65 = 20 5x^2 - 30x + 45 = 0 Tous les coefficients sont divisibles par 5 : x^2 - 6x + 9 = 0 On reconnaît une identité remarquable : x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2.

   (x - 3)^2 = 0

6. Étape 6 : L'équation (x - 3)^2 = 0 n'admet qu'une seule solution, x = 3 — une racine double. On peut le confirmer par le discriminant : = (-6)^2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0 ✓ Il n'y a donc qu'un seul point d'intersection, d'abscisse 3, et son ordonnée vaut y = -2 3 + 11 = 5. C'est bien le point A(3\,;\,5). T est donc tangente à C en A, et le calcul le démontre — il ne se contente pas de l'affirmer sur la foi du théorème.

   = 0 \ \ un seul point : A

7. Étape 7 : Un troisième contrôle, indépendant des deux précédents : la distance du centre à la tangente doit valoir le rayon. d(,T) = |2 (-1) + 1 3 - 11|{2^2 + 1^2} = |-2 + 3 - 11|{5} = 10{5} On rationalise : 10{5} = 10{5}{5} = 25. Et le rayon vaut 20 = 4 5 = 25 ✓ 👉 Trois chemins — la construction par le rayon normal, la racine double, la distance — donnent la même conclusion. C'est ce qui rend la réponse incontestable.
8. Étape 8 : L'erreur classique : Oublier de reporter le -3 du cercle en substituant, et écrire (x+1)^2 + (-2x+11)^2 = 20. On obtiendrait 5x^2 - 42x + 102 = 0, de discriminant = 1\,764 - 2\,040 = -276 < 0 — donc « aucun point d'intersection », alors que la droite est tangente et en touche un. La conclusion serait spectaculairement fausse, et rien dans le calcul lui-même ne l'aurait signalé. À retenir : Retiens l'équivalence dans les deux sens : tangente ⟺ racine double ⟺ = 0 ⟺ distance au centre égale au rayon. Ces quatre formulations décrivent la même chose, et pouvoir passer de l'une à l'autre donne autant de contrôles indépendants — c'est ce qui a permis, ici, de vérifier le résultat trois fois par trois méthodes sans rapport.