Identifier un cercle (complétion du carré)
Énoncé
Déterminer si chaque équation définit un cercle. Si oui, donner son centre et son rayon.
a) x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0
b) x^2 + y^2 - 6x + 10y + 50 = 0
Indice : Complète les carrés et vérifie que D^2 + E^2 - 4F > 0.
Correction
- Étape 1 : Deux équations de même forme, et pourtant une seule décrit un cercle. C'est tout l'objet de l'exercice : une équation en x^2 + y^2 + n'est pas automatiquement celle d'un cercle.
Reconnaître un cercle :
1. Regrouper les x ensemble, les y ensemble, et passer la constante à droite.
2. Compléter chaque carré en ajoutant la même quantité des deux côtés.
3. Regarder le signe du second membre — c'est lui qui décide.
Trois cas possibles à l'étape 3, et le troisième est celui qu'on n'attend pas :
| second membre | ensemble décrit |
| --- | --- |
| > 0 | un cercle de rayon sa racine |
| = 0 | un seul point, le centre |
| < 0 | l'ensemble vide |
La raison du dernier cas est simple : une somme de deux carrés ne peut jamais être négative.
- Étape 2 : a) On regroupe et l'on passe la constante à droite :
x^2 + 8x + y^2 - 2y = -8
On complète chaque carré. Moitié de 8 : 4, son carré 16. Moitié de -2 : -1, son carré 1.
(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 2y + 1) = -8 + 16 + 1
(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9
- Étape 3 : Le second membre vaut 9 > 0, donc c'est bien un cercle :
Centre (-4\,;\,1) — les valeurs qui annulent les parenthèses.
Rayon r = 9 = 3.
Contrôle : le point (-1\,;\,1), à 3 unités du centre vers la droite, doit être sur le cercle. (-1+4)^2 + (1-1)^2 = 9 + 0 = 9 ✓
(-4\,;\,1) r = 3
- Étape 4 : b) Même travail sur x^2 + y^2 - 6x + 10y + 50 = 0 :
x^2 - 6x + y^2 + 10y = -50
Moitié de -6 : -3, son carré 9. Moitié de 10 : 5, son carré 25.
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) = -50 + 9 + 25
(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = -16
- Étape 5 : Le second membre vaut -16, qui est négatif. Or le membre de gauche est une somme de deux carrés : il est toujours positif ou nul, quelles que soient les valeurs de x et y.
Aucun point du plan ne peut donc vérifier cette égalité :
L'ensemble est vide. Ce n'est pas un cercle.
👉 Géométriquement, on peut lire cette équation comme celle d'un cercle de centre (3\,;\,-5) et de rayon « -16 » — un rayon qui n'existe pas. Le centre, lui, est parfaitement défini ; c'est le cercle qui ne l'est pas.
Ensemble vide : ce n'est pas un cercle
- Étape 6 : L'erreur classique :
Répondre en b) « cercle de centre (3\,;\,-5) et de rayon 4 », en prenant la racine de 16 sans regarder le signe. C'est l'erreur que l'exercice est fait pour provoquer : le calcul de complétion est juste jusqu'au bout, et il ne reste qu'à lire un signe — qu'on oublie précisément parce que tout s'est bien passé jusque-là.
À retenir :
La complétion des carrés ne dit pas seulement où est le cercle, elle dit s'il existe. Prends le réflexe de regarder le signe du second membre avant d'annoncer quoi que ce soit — trois cas, trois réponses différentes, et deux d'entre eux ne sont pas des cercles.