Intersection droite-cercle

Énoncé

Soit le cercle C : (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 13 et la droite D : y = -x + 5. Déterminer les points d'intersection de C et D.

Indice : Substitue y = -x + 5 dans l'équation du cercle, développe et résous.

Correction

1. Étape 1 : Même méthode qu'à l'exercice précédent — substituer la droite dans le cercle — mais deux différences qui changent le travail. Et le résultat ne tombera pas juste. Il faut s'y préparer : un discriminant qui n'est pas un carré parfait n'est pas le signe d'une erreur, c'est le cas général. On garde alors la valeur exacte, avec sa racine, plutôt que de passer à un arrondi qui perdrait de l'information.
2. Étape 2 : On substitue y = -x + 5 dans (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 13 : (x - 2)^2 + (-x + 5 - 1)^2 = 13 (x - 2)^2 + (-x + 4)^2 = 13 On développe les deux carrés : (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 (-x+4)^2 = x^2 - 8x + 16 — le carré d'un opposé est le même que celui du nombre, donc (-x+4)^2 = (x-4)^2.
3. Étape 3 : On additionne et l'on ramène tout à gauche : x^2 - 4x + 4 + x^2 - 8x + 16 = 13 2x^2 - 12x + 20 = 13 2x^2 - 12x + 7 = 0 ⚠️ Ici on ne peut pas diviser par 2 : le 7 n'est pas pair. On garde l'équation telle quelle.

   2x^2 - 12x + 7 = 0

4. Étape 4 : On résout, avec a = 2, b = -12, c = 7 : = (-12)^2 - 4 2 7 = 144 - 56 = 88 > 0 : la droite coupe bien le cercle en deux points. 88 n'est pas entier, mais se simplifie : 88 = 4 22, donc 88 = 222. x = 12 2{22}{4} = 2\,(6 {22)}{4} = 6 {22}{2}

   x = 6 {22}{2}

5. Étape 5 : On revient aux ordonnées par y = -x + 5. Pour x = 6 - {22}{2} : y = -6 - {22}{2} + 5 = -6 + {22 + 10}{2} = 4 + {22}{2} Et symétriquement pour l'autre. Les deux points sont donc : A\!(6 - {22}{2}\,;\,4 + {22}{2}) et B\!(6 + {22}{2}\,;\,4 - {22}{2}) 👉 On remarque que les signes de 22 sont opposés entre l'abscisse et l'ordonnée d'un même point. C'est normal : la droite descend, donc quand x augmente, y diminue.

   A\!(6 - {22}{2}\,;\,4 + {22}{2}) \ et \ B\!(6 + {22}{2}\,;\,4 - {22}{2})

6. Étape 6 : Contrôle de plausibilité, puisque la vérification exacte serait longue. 22 4{,}69, donc A (0{,}65\,;\,4{,}35) et B (5{,}35\,;\,-0{,}35). Ces deux points sont-ils crédibles ? Le cercle a pour centre (2\,;\,1) et pour rayon 13 3{,}61. Vérifions pour A : (0{,65 - 2)^2 + (4{,}35 - 1)^2} = 1{,82 + 11{,}22} = 13{,04} 3{,}61 ✓ C'est bien le rayon, à l'arrondi près. Et les deux points sont sur la droite : 0{,}65 + 4{,}35 = 5 ✓ et 5{,}35 - 0{,}35 = 5 ✓ — ce qui est exactement l'équation y = -x + 5 réécrite x + y = 5.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Oublier le -1 du cercle en substituant, et écrire (x-2)^2 + (-x+5)^2 = 13. On obtiendrait 2x^2 - 14x + 16 = 0, donc des points qui ne sont sur aucun des deux objets. Autre réflexe à corriger : conclure à une erreur parce que = 88 n'est pas un carré parfait. La plupart des intersections réelles donnent des coordonnées irrationnelles — c'est l'exercice précédent, avec ses réponses entières, qui est le cas particulier. À retenir : Simplifie la racine avant de conclure : 88 = 222 permet de factoriser par 2 au numérateur et d'obtenir une écriture bien plus lisible. Et quand les valeurs exactes sont lourdes, contrôle en valeurs approchées : deux décimales suffisent à repérer une faute, et c'est bien plus rapide qu'une vérification exacte.