Distance d'un point à une droite

Énoncé

Soit D : 5x - 12y + 6 = 0 et les points A(2 ; 1), B(-1 ; 3). a) Calculer d(A, D). b) Calculer d(B, D). c) Lequel des deux points est le plus proche de D ?

Indice : d = |ax_0 + by_0 + c|{a^2 + b^2}.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui reposent sur une seule formule, appliquée deux fois. L'intérêt est ailleurs : le dénominateur ne dépend que de la droite, donc il ne se calcule qu'une fois. Distance d'un point à une droite : [formule] 👉 Comme les deux points sont comparés à la même droite, ils partagent le même dénominateur. Comparer les deux distances revient donc à comparer les deux numérateurs — ce qui rendra la question c) immédiate.
2. Étape 2 : On calcule d'abord le dénominateur, commun aux deux questions. Pour D : 5x - 12y + 6 = 0, le vecteur normal est n\,(5\,;\,-12) : 5^2 + (-12)^2 = 25 + 144 = 169 = 13 On reconnaît le triplet 5–12–13, un autre triangle rectangle à côtés entiers — ce qui explique que la racine tombe juste.

   a^2 + b^2 = 13

3. Étape 3 : a) Pour A(2\,;\,1), on remplace dans 5x - 12y + 6 : 5 2 - 12 1 + 6 = 10 - 12 + 6 = 4 d(A,D) = |4|{13} = 4{13} 0{,}31

   d(A,D) = 4{13} 0{,}31

4. Étape 4 : b) Pour B(-1\,;\,3) : 5 (-1) - 12 3 + 6 = -5 - 36 + 6 = -35 Le résultat est négatif, et c'est ici que la valeur absolue joue son rôle : d(B,D) = |-35|{13} = 35{13} 2{,}69 👉 Le signe n'est pas une erreur : il indique de quel côté de la droite se trouve le point. A et B donnant des signes opposés, ils sont de part et d'autre de D — une information gratuite, que la valeur absolue efface une fois qu'on l'a lue.

   d(B,D) = 35{13} 2{,}69

5. Étape 5 : c) Les deux fractions ayant le même dénominateur, la comparaison se fait sur les numérateurs seuls : 4{13} < 35{13} puisque 4 < 35 Le point A est donc plus proche de D que B — et près de neuf fois plus proche. 👉 On aurait pu répondre sans jamais calculer le dénominateur : |4| contre |-35| suffisait. C'est ce que la stratégie annonçait, et cela vaut chaque fois qu'on compare des distances à une même droite.

   A est plus proche de D

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier la valeur absolue en b) et annoncer une distance de -35{13}. Une distance est une longueur : elle ne peut pas être négative. Pire, en comparant -2{,}69 à 0{,}31, on conclurait que B est le plus proche — la réponse inverse. À retenir : Quand plusieurs points sont comparés à une même droite, calcule le dénominateur une seule fois et compare les numérateurs en valeur absolue. C'est plus rapide, et ça met en évidence ce qui distingue vraiment les points. Garde aussi en tête que le signe du numérateur, avant valeur absolue, dit de quel côté de la droite on se trouve.