Positions relatives de deux droites

Énoncé

Déterminer la position relative des droites suivantes : a) D_1 : 2x - y + 3 = 0 et D_2 : 4x - 2y - 1 = 0 b) D_3 : x + 3y - 5 = 0 et D_4 : 2x - y + 1 = 0

Indice : Calcule le déterminant = a_1 b_2 - a_2 b_1. Si = 0, vérifie si les droites sont confondues.

Correction

1. Étape 1 : Deux droites du plan n'ont que trois positions possibles, et un seul calcul les départage en grande partie. Position relative de deux droites : Pour D : ax + by + c = 0 et D' : a'x + b'y + c' = 0, on calcule le déterminant des vecteurs directeurs : [formule] - 0 : les droites sont sécantes (un seul point commun) ; - = 0 : elles sont parallèles — reste à savoir si elles sont confondues. ⚠️ Le déterminant ne distingue pas « parallèles distinctes » de « confondues ». Quand il s'annule, il faut un second geste : prendre un point de l'une et tester s'il appartient à l'autre. C'est ce que la question a) va demander.
2. Étape 2 : a) Pour D_1 : 2x - y + 3 = 0 et D_2 : 4x - 2y - 1 = 0 : = 2 (-2) - 4 (-1) = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0 ⚠️ Soustraire un nombre négatif revient à l'ajouter — c'est ce qui fait tomber le résultat à zéro. Le déterminant est nul, donc les deux droites sont parallèles. Reste à trancher entre distinctes et confondues.

   = 0 \ \ parallèles

3. Étape 3 : On prend un point de D_1 et l'on regarde s'il est sur D_2. Le plus simple : poser x = 0 dans D_1. 2 0 - y + 3 = 0 y = 3, donc A(0\,;\,3) D_1. Est-il sur D_2 ? 4 0 - 2 3 - 1 = -6 - 1 = -7 0 Non. Les deux droites sont donc parallèles distinctes : elles n'ont aucun point commun.

   D_1 et D_2 sont parallèles distinctes

4. Étape 4 : b) Pour D_3 : x + 3y - 5 = 0 et D_4 : 2x - y + 1 = 0 : = 1 (-1) - 2 3 = -1 - 6 = -7 Le déterminant n'est pas nul, donc les droites sont sécantes : elles se coupent en un point et un seul. On peut s'arrêter là — l'énoncé ne demande pas le point d'intersection. S'il le demandait, on résoudrait le système formé par les deux équations.

   = -7 0 \ \ sécantes

5. Étape 5 : Une remarque utile pour aller plus vite. En a), on peut voir sans calcul que D_2 a des coefficients exactement doubles de ceux de D_1 pour x et y : (4\,;\,-2) = 2 (2\,;\,-1). Les vecteurs normaux sont donc colinéaires, ce qui suffit à conclure au parallélisme. 👉 Et cela donne le critère des confondues en un coup d'œil : deux droites sont confondues si toute l'équation est proportionnelle, constante comprise. Ici 2 3 = 6 -1, donc la constante ne suit pas : parallèles distinctes. ✓ Autrement dit : D_2 aurait dû s'écrire 4x - 2y + 6 = 0 pour être confondue avec D_1.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Conclure « confondues » dès que le déterminant s'annule. C'est exactement la question que le déterminant ne tranche pas : il dit que les directions sont les mêmes, pas que les droites le sont. Ici les deux sont parallèles et n'ont pourtant aucun point commun. Seconde erreur, dans le calcul : multiplier sans croiser, 2 4 - (-1) (-2) = 8 - 2 = 6. On conclurait « sécantes » sur deux droites parallèles. À retenir : Déterminant nul ⟹ un second geste obligatoire : un point de l'une testé dans l'autre. Et pour le calcul, écris les deux équations l'une sous l'autre et trace les diagonales du carré formé par a, b, a', b' — le déterminant est la différence des deux produits diagonaux.