Équation de droite (cartésienne et réduite)

Énoncé

Soit la droite D passant par A(1 ; 4) et de vecteur directeur u(2 ; -3). a) Déterminer une équation cartésienne de D. b) En déduire l'équation réduite de D.

Indice : Utilise la colinéarité de AM et u pour la forme cartésienne, puis isole y.

Correction

1. Étape 1 : On connaît un point et une direction : c'est exactement ce qu'il faut pour écrire une équation de droite. Deux formes sont demandées, et il faut savoir passer de l'une à l'autre. Équation cartésienne à partir d'un point et d'un directeur : Si D passe par A(x_A\,;\,y_A) et a pour vecteur directeur u\,(\,;\,), alors : [formule] D'où vient cette formule ? De la colinéarité : M est sur la droite si et seulement si AM est colinéaire à u, ce qui s'écrit par le déterminant \,(x - x_A) - \,(y - y_A) = 0. Ce n'est donc pas une formule de plus à retenir, mais le critère de colinéarité appliqué à deux vecteurs dont l'un est connu. ⚠️ Les coordonnées de u apparaissent croisées et avec un changement de signe. C'est là que se joue tout l'exercice.
2. Étape 2 : a) On applique avec A(1\,;\,4) et u\,(2\,;\,-3), donc = 2 et = -3 : -3\,(x - 1) - 2\,(y - 4) = 0 On développe, en faisant attention au signe devant chaque parenthèse : -3x + 3 - 2y + 8 = 0 -3x - 2y + 11 = 0
3. Étape 3 : On préfère habituellement un coefficient de x positif. On multiplie donc toute l'équation par -1, ce qui ne change pas la droite : 3x + 2y - 11 = 0 Contrôle : le point A(1\,;\,4) doit vérifier l'équation. 3 1 + 2 4 - 11 = 3 + 8 - 11 = 0 ✓ Second contrôle, sur la direction : le vecteur normal se lit n\,(3\,;\,2), et il doit être orthogonal à u : u n = 2 3 + (-3) 2 = 6 - 6 = 0 ✓

   3x + 2y - 11 = 0

4. Étape 4 : b) L'équation réduite est la forme y = mx + p. On isole y : 3x + 2y - 11 = 0 2y = -3x + 11 y = -3{2}x + 11{2} La pente vaut -3{2}, et l'on peut la retrouver directement sur le vecteur directeur : m = {} = -3{2} ✓ — deux chemins, même résultat.

   y = -3{2}x + 11{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Recopier les coordonnées du directeur sans les croiser, et écrire 2(x-1) - 3(y-4) = 0. On obtiendrait 2x - 3y + 10 = 0, dont le vecteur normal est (2\,;\,-3) — c'est-à-dire u lui-même. La droite trouvée serait donc perpendiculaire à celle demandée. Le point A la vérifie pourtant (2 - 12 + 10 = 0), ce qui rend l'erreur difficile à voir : le premier contrôle ne suffit pas ici. À retenir : Fais les deux contrôles : le point appartient à la droite, et le vecteur normal lu dans l'équation est orthogonal au directeur donné. Le premier seul laisse passer la droite perpendiculaire — c'est exactement le piège ci-dessus.