Tangente à un cercle

Énoncé

Soit C le cercle de centre (2 ; 1) et de rayon 5. a) Vérifier que A(4 ; 2) appartient à C. b) Déterminer l'équation de la tangente à C en A.

Indice : Pour b), la tangente en A est perpendiculaire au rayon [ A], donc A est un vecteur normal de la tangente.

Correction

1. Étape 1 : Une tangente à un cercle en un point est la droite qui le touche sans le traverser. Sa caractérisation est d'une simplicité qui fait tout l'intérêt de l'exercice. Tangente à un cercle en un de ses points : La tangente en A au cercle de centre est perpendiculaire au rayon [ A]. Autrement dit, A est un vecteur normal de la tangente. ⚠️ Ce théorème ne vaut que si A est sur le cercle. C'est pourquoi la question a) le vérifie d'abord : ce n'est pas une formalité, c'est la condition d'application de tout ce qui suit.
2. Étape 2 : a) On vérifie que A(4\,;\,2) est bien sur le cercle de centre (2\,;\,1) et de rayon 5. L'équation du cercle est (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (5)^2 = 5. On remplace : (4 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 ✓ Donc A C, et le théorème de la tangente s'applique.

   A C

3. Étape 3 : b) On calcule le vecteur A, qui sera le vecteur normal de la tangente : A\,(4 - 2\,;\,2 - 1) = A\,(2\,;\,1) On remarque au passage que sa norme vaut 4 + 1 = 5 — c'est bien le rayon, ce qui confirme une fois de plus que A est sur le cercle.
4. Étape 4 : On écrit l'équation de la droite passant par A(4\,;\,2) et de normal (2\,;\,1) : 2\,(x - 4) + 1\,(y - 2) = 0 2x - 8 + y - 2 = 0 2x + y - 10 = 0

   T : 2x + y - 10 = 0

5. Étape 5 : Deux contrôles indépendants. Le point : A(4\,;\,2) doit vérifier l'équation. 2 4 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0 ✓ La distance : une tangente est, par définition, à une distance du centre exactement égale au rayon. Vérifions avec la formule du chapitre : d(,T) = |2 2 + 1 1 - 10|{4 + 1} = |-5|{5} = 5{5} = 5 ✓ 👉 Ce second contrôle est le bon, parce qu'il teste la tangence elle-même, et pas seulement le passage par A. Une droite quelconque passant par A passerait le premier test sans être tangente.

   d(,T) = 5 = r

6. Étape 6 : L'erreur classique : Prendre A comme vecteur directeur de la tangente au lieu de normal. On écrirait alors 1(x-4) - 2(y-2) = 0, soit x - 2y = 0 — une droite qui passe bien par A mais traverse le cercle, puisqu'elle contient aussi le centre (en effet 2 - 2 = 0). C'est le contrôle par la distance qui l'attrape : cette droite est à distance 0 du centre, pas 5. À retenir : Retiens la figure : le rayon perce la tangente à angle droit, donc il en est le normal. Et termine toujours par le contrôle de distance — c'est le seul qui vérifie la propriété demandée, là où le passage par A est satisfait par une infinité de droites.