Intersection droite et cercle

Énoncé

Déterminer les points d'intersection du cercle C : x^2 + y^2 = 25 et de la droite D : y = x + 1.

Indice : Substitue y = x + 1 dans l'équation du cercle et résous l'équation du second degré.

Correction

1. Étape 1 : Chercher l'intersection d'une droite et d'un cercle, c'est chercher les points qui vérifient les deux équations à la fois. On résout donc un système — et la droite fournit une expression toute prête à substituer. Intersection droite–cercle : 1. Isoler une variable dans l'équation de la droite (ici y est déjà isolé). 2. Substituer dans l'équation du cercle : il ne reste qu'une inconnue. 3. Résoudre l'équation du second degré obtenue. 4. Revenir à l'autre coordonnée grâce à l'équation de la droite. Le discriminant dira à lui seul la position relative : > 0 donne deux points (la droite est sécante), = 0 un seul (elle est tangente), < 0 aucun (elle passe à côté).
2. Étape 2 : On remplace y par x + 1 dans l'équation du cercle x^2 + y^2 = 25 : x^2 + (x + 1)^2 = 25 On développe le carré : x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0 2x^2 + 2x - 24 = 0 Tous les coefficients sont pairs : on divise par 2 pour alléger la suite. x^2 + x - 12 = 0

   x^2 + x - 12 = 0

3. Étape 3 : On résout, avec a = 1, b = 1, c = -12 : = 1^2 - 4 1 (-12) = 1 + 48 = 49 ⚠️ Attention au double signe : -4ac avec c négatif ajoute 48. > 0, donc deux solutions, et 49 = 7 : x_1 = -1 - 7{2} = -4 x_2 = -1 + 7{2} = 3

   x_1 = -4 x_2 = 3

4. Étape 4 : On revient aux ordonnées grâce à l'équation de la droite y = x + 1 : y_1 = -4 + 1 = -3 y_2 = 3 + 1 = 4 Les deux points d'intersection sont donc : A(-4\,;\,-3) et B(3\,;\,4)

   A(-4\,;\,-3) et B(3\,;\,4)

5. Étape 5 : Contrôle : les deux points doivent vérifier les DEUX équations. Pour A(-4\,;\,-3) : sur le cercle, (-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25 ✓ ; sur la droite, -4 + 1 = -3 ✓ Pour B(3\,;\,4) : sur le cercle, 9 + 16 = 25 ✓ ; sur la droite, 3 + 1 = 4 ✓ 👉 Vérifier les deux équations est indispensable : un point qui ne vérifierait que celle du cercle serait sur le cercle sans être sur la droite, donc pas une intersection. C'est l'erreur qu'on commet en se trompant à l'étape de retour. On reconnaît au passage deux triangles 3–4–5, ce qui est cohérent avec un cercle de rayon 5.
6. Étape 6 : L'erreur classique : S'arrêter aux valeurs de x et répondre « -4 et 3 ». La question demande des points du plan, donc des couples de coordonnées. Il faut repasser par l'équation de la droite — et par celle de la droite, pas celle du cercle, qui donnerait deux ordonnées possibles pour chaque x. À retenir : Substitue toujours la droite dans le cercle, jamais l'inverse : l'équation de la droite fournit une expression directe de y, alors que celle du cercle en donnerait une racine carrée avec deux signes à gérer. Et lis le discriminant comme une information géométrique : > 0 sécante, = 0 tangente, < 0 disjointes.