Droite perpendiculaire et vecteur normal

Énoncé

Soit D : 2x + 5y - 3 = 0 et A(1 ; -1). Déterminer l'équation de la droite D' passant par A et perpendiculaire à D.

Indice : Le vecteur directeur de D est un vecteur normal de D' (et inversement).

Correction

1. Étape 1 : Une droite perpendiculaire à une autre : c'est le cas où la distinction entre directeur et normal rend le calcul immédiat — à condition de ne pas les intervertir. Le renversement des rôles : Si D' est perpendiculaire à D, alors le vecteur normal de D devient un vecteur directeur de D'. C'est visuel : le normal de D traverse D à angle droit, donc il pointe exactement dans la direction de toute droite perpendiculaire à D.
2. Étape 2 : On lit le vecteur normal de D : 2x + 5y - 3 = 0 dans ses coefficients : n_{D}\,(2\,;\,5) Comme D' est perpendiculaire à D, ce vecteur en est un directeur : u_{D'}\,(2\,;\,5)
3. Étape 3 : Il reste à trouver le normal de D', en échangeant les coordonnées et en changeant un signe : n_{D'}\,(5\,;\,-2) Contrôle : u_{D'} n_{D'} = 2 5 + 5 (-2) = 10 - 10 = 0 ✓
4. Étape 4 : On écrit enfin l'équation de D', qui passe par A(1\,;\,-1) et a pour normal (5\,;\,-2) : 5\,(x - 1) - 2\,(y - (-1)) = 0 5(x - 1) - 2(y + 1) = 0 5x - 5 - 2y - 2 = 0 5x - 2y - 7 = 0

   D' : 5x - 2y - 7 = 0

5. Étape 5 : Deux contrôles, et il faut les deux. Le point : A(1\,;\,-1) doit vérifier l'équation. 5 1 - 2 (-1) - 7 = 5 + 2 - 7 = 0 ✓ La perpendicularité : les deux vecteurs normaux doivent être orthogonaux. n_{D} n_{D'} = 2 5 + 5 (-2) = 10 - 10 = 0 ✓ 👉 Ce second contrôle est le plus important, parce qu'il porte sur ce que l'exercice demande vraiment. Une droite passant par A mais mal orientée passerait le premier test sans difficulté.

   n_{D} n_{D'} = 0

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le renversement des rôles et écrire directement 2(x-1) + 5(y+1) = 0, c'est-à-dire garder (2\,;\,5) comme normal de D'. On obtiendrait 2x + 5y + 3 = 0 — une droite parallèle à D, exactement le contraire de ce qui est demandé. Et le contrôle sur le point ne l'attrape pas : 2 - 5 + 3 = 0, A y appartient bien. À retenir : Retiens l'image plutôt que la règle : le normal de l'une est le directeur de l'autre, parce qu'un vecteur qui traverse une droite longe forcément toute perpendiculaire à celle-ci. Et vérifie toujours la perpendicularité par un produit scalaire — le contrôle sur le point ne dit rien de l'orientation.