Distance d'un point à une droite

Énoncé

Calculer la distance du point A(3 ; 1) à la droite D : 4x - 3y + 2 = 0.

Indice : d = |ax_0 + by_0 + c|{a^2 + b^2}.

Correction

1. Étape 1 : La distance d'un point à une droite est celle du chemin le plus court, c'est-à-dire mesurée perpendiculairement. Elle se calcule directement, sans avoir à construire le pied de la perpendiculaire. Distance d'un point à une droite : Pour A(x_A\,;\,y_A) et la droite D d'équation ax + by + c = 0 : [formule] - au numérateur, on remplace x et y par les coordonnées de A dans le membre de gauche de l'équation — la constante c comprise. La valeur absolue est indispensable : une distance ne peut pas être négative ; - au dénominateur, la norme du vecteur normal n\,(a\,;\,b). ⚠️ L'équation doit être sous forme ax + by + c = 0, tout ramené du même côté. Une équation réduite y = mx + p donnerait des coefficients faux.
2. Étape 2 : On relève les coefficients de D : 4x - 3y + 2 = 0, avec leurs signes : a = 4, b = -3, c = 2 Et les coordonnées de A(3\,;\,1).
3. Étape 3 : Le numérateur. On remplace dans 4x - 3y + 2 : 4 3 - 3 1 + 2 = 12 - 3 + 2 = 11 La valeur absolue de 11 vaut 11 — ici elle ne change rien, mais elle serait indispensable si le résultat était négatif, ce qui arrive dès que le point est de l'autre côté de la droite.
4. Étape 4 : Le dénominateur. C'est la norme du vecteur normal n\,(4\,;\,-3) : 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25 = 5 ⚠️ On élève au carré avant d'additionner : (-3)^2 = 9, jamais -9. Et l'on n'oublie pas la racine — sans elle on obtiendrait 25, cinq fois trop grand.
5. Étape 5 : On assemble les deux étages : d(A,D) = 11{5} = 2{,}2 Contrôle de plausibilité. Le point A(3\,;\,1) est-il vraiment à environ 2 unités de la droite ? Cherchons un point de D : pour x = 1, on a 4 - 3y + 2 = 0, donc y = 2. Le point P(1\,;\,2) est donc sur la droite, et sa distance à A vaut (3-1)^2 + (1-2)^2 = 5 2{,}24. Cette distance-là est oblique, donc nécessairement supérieure ou égale à la distance perpendiculaire. Et 2{,}24 2{,}2 ✓ — de très peu, ce qui indique que P est presque le pied de la perpendiculaire.

   d(A,D) = 11{5} = 2{,}2

6. Étape 6 : L'erreur classique : Ne calculer qu'un seul étage : donner 11 comme réponse, en oubliant de diviser. Le nombre 11 n'est pas une distance — c'est ce que vaut le membre de gauche de l'équation en A, ce qui dépend de la façon dont l'équation a été écrite. Multiplier toute l'équation par 2 le doublerait, alors que la distance, elle, ne bougerait pas. Erreur voisine au dénominateur : additionner 4 et -3 au lieu de prendre la racine de la somme des carrés. À retenir : Pose la fraction en deux temps — numérateur d'abord, dénominateur ensuite — et n'oublie ni la valeur absolue ni la racine. Un contrôle rapide : la distance à la droite est toujours inférieure ou égale à la distance à n'importe lequel de ses points. Un point de D trouvé au hasard suffit donc à vérifier l'ordre de grandeur.