Reconnaître un cercle

Énoncé

L'équation x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 est-elle celle d'un cercle ? Si oui, préciser centre et rayon.

Indice : Complète les carrés pour x et pour y.

Correction

1. Étape 1 : L'équation est donnée sous forme développée : on ne peut y lire ni le centre complet, ni le rayon. Il faut la ramener à la forme (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, et l'outil pour cela est la complétion du carré, déjà rencontrée au chapitre sur le second degré. Compléter le carré, variable par variable : Pour x^2 + kx, on cherche le carré qui commence pareil : (x + k{2})^2 = x^2 + kx + k^2{4}. Il y a donc k^2{4} de trop, qu'on retranche — ou, ce qui revient au même, qu'on ajoute des deux côtés de l'équation. Et il faudra vérifier le signe du second membre à la fin : s'il est négatif, ce n'est pas un cercle du tout.
2. Étape 2 : On regroupe les termes en x d'un côté, ceux en y de l'autre, et l'on fait passer la constante à droite : x^2 - 6x + y^2 + 4y = 3 On complète maintenant chaque carré, en ajoutant la même chose des deux côtés : - pour x^2 - 6x : moitié de -6 vaut -3, son carré vaut 9 ; - pour y^2 + 4y : moitié de 4 vaut 2, son carré vaut 4. (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4
3. Étape 3 : Chaque parenthèse est maintenant un carré parfait : (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 ⚠️ Attention aux signes : x^2 - 6x + 9 donne (x - 3)^2 avec un moins, tandis que y^2 + 4y + 4 donne (y + 2)^2 avec un plus. Le signe dans la parenthèse est celui de la moitié du coefficient.

   (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

4. Étape 4 : On peut enfin lire les deux réponses. Le second membre vaut 16 > 0, donc il s'agit bien d'un cercle : Centre : les valeurs qui annulent les parenthèses, soit (3\,;\,-2). Rayon : la racine du second membre, soit r = 16 = 4. On vérifie sur un point : le point (7\,;\,-2), situé à 4 unités du centre vers la droite, doit être sur le cercle. (7-3)^2 + (-2+2)^2 = 16 + 0 = 16 ✓

   (3\,;\,-2) r = 4

5. Étape 5 : L'erreur classique : Lire le rayon sur la constante de l'équation développée, et répondre r = 3 à partir du -3 de départ. La constante n'est pas r^2 tant que les carrés ne sont pas complétés : ici -3 devient 16 une fois les 9 et les 4 ajoutés des deux côtés. Seconde erreur, sur la complétion : ajouter le carré du coefficient entier plutôt que celui de sa moitié — donc 36 au lieu de 9 pour -6x. On obtiendrait un rayon complètement faux, sans que rien ne le signale. À retenir : Vérifie ta complétion en développant mentalement le carré obtenu : (x-3)^2 redonne bien x^2 - 6x + 9, donc le 9 était le bon. Et regarde toujours le signe du second membre avant de conclure : négatif, il n'y a pas de cercle — c'est le cas de l'exercice 12013 b).