Équation d'un cercle

Énoncé

Écrire l'équation du cercle C de centre (2 ; -3) et de rayon 5.

Indice : L'équation est (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.

Correction

1. Étape 1 : Deux écritures pour le même cercle, et l'énoncé demande la première — mais savoir passer à la seconde servira à tous les exercices suivants. Équation d'un cercle : Le cercle de centre (a\,;\,b) et de rayon r a pour équation : [formule] C'est la traduction directe de « M est à la distance r de », par le théorème de Pythagore. - les coordonnées du centre apparaissent avec un signe moins — un centre d'ordonnée -3 donne donc (y + 3)^2, parce que soustraire un négatif revient à ajouter ; - le second membre est r^2, pas r.
2. Étape 2 : On applique la formule avec a = 2, b = -3 et r = 5 : (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2 On simplifie la double soustraction : (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 Contrôle immédiat : quelles valeurs annulent les deux parenthèses ? x = 2 et y = -3 — c'est bien le centre. ✓

   (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

3. Étape 3 : On donne aussi la forme développée, qui est celle sous laquelle un énoncé présente souvent un cercle. On développe les deux carrés séparément : (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9 D'où : x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25 On regroupe et l'on passe tout à gauche : x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 - 25 = 0, soit x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0

   x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0

4. Étape 4 : Deux remarques sur cette forme développée, qui serviront à reconnaître un cercle dans les exercices suivants. La signature d'un cercle : x^2 et y^2 ont le même coefficient, et il n'y a aucun terme en xy. Une équation qui ne remplit pas ces deux conditions ne décrit pas un cercle. Le centre s'y lit à moitié : les coefficients de x et y valent -4 et +6, soit exactement -2a et -2b. On retrouve donc le centre en prenant l'opposé de la moitié de chacun : --4{2} = 2 et -6{2} = -3 ✓ ⚠️ En revanche, le rayon ne se lit pas sur la constante : ici -12 n'a rien à voir avec 25. Il faudra compléter les carrés pour le retrouver — c'est tout l'objet de l'exercice suivant.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Recopier les signes du centre tels quels et écrire (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25. Le contrôle est immédiat : cette équation s'annule en (-2\,;\,3), qui n'est pas le centre demandé. Seconde erreur : écrire = 5 au lieu de = 25. Le cercle obtenu aurait alors un rayon de 5 2{,}24 au lieu de 5 — un cercle bien réel, mais pas celui qu'on voulait. À retenir : Relis ton équation en te demandant « quel point l'annule ? ». Ce doit être le centre. Ce contrôle d'une seconde attrape les deux erreurs de signe, et il fonctionne aussi quand une coordonnée est négative.